Hàm Số Bậc Hai - Lý Thuyết Và Các Bài Tập Liên Quan

1. Tóm tắt lý thuyết về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai lớp 10 là một khái niệm khá quen thuộc với mỗi bạn học sinh. Vậy hàm số bậc hai là gì? Chúng ta cùng đi sâu vào tìm hiểu thế nào là hàm số bậc hai nhé!

1.1. Khái niệm hàm số bậc hai lớp 10

• Hàm số bậc hai là hàm số có dạng như sau:

$y=ax^{2}+bx+c$

Trong đó: $a\neq 0$

                a,b,c, là các hằng số

Tập R chính là tập xác định của hàm số bậc hai.

Hệ số hoàn toàn có thể ở số y. Số x và y lần lượt là các biến.

• Hàm số bậc hai có dạng đồ thị tổng quát: 

• Là đường Parabol có đỉnh $I(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta }{4a})$

• Trục đối xứng là đường thẳng $x=\frac{-b}{2a}$

1.2. Chiều biến thiên của hàm số bậc 2

Ta được biết hàm số bậc hai có dạng: $y=ax^{2}+bx+c$ , $a\neq 0$

Từ đó chúng ta rút ra được kết luận về chiều biến thiên của hàm số bậc 2 như sau:

• Khi a>0:

- Hàm số đồng biến trên $\left ( \frac{-b}{2a},+\infty \right )$

- Hàm số nghịch biến trên $\left ( -\infty ,\frac{-b}{2a} \right )$ 

- Hàm số đạt GTNN là $\frac{-\Delta }{4a}$ khi $x=\frac{-b}{2a}$

• Khi a<0

• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( -\infty ,\frac{-b}{2a} \right )$

• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left ( \frac{-b}{2a},+\infty \right )$

• Hàm số đạt GTLN là $\frac{-\Delta }{4a}$ khi $x=\frac{-b}{2a}$

1.3. Hướng dẫn vẽ đồ thị của hàm số bậc hai 

Đồ thị của hàm số bậc hai có rất nhiều dạng. Để có thể vẽ được đồ thị của hàm số bậc hai chúng ta làm những bước như sau:

a, Vẽ đồ thị hàm số bậc hai có dạng $y=ax^{2}$

Ta thực hiện lần lượt các bước:

• Xác định tọa độ đỉnh (0;0).

• Xác định 5 điểm thuộc đồ thị để vẽ đồ thị chính xác.

• Vẽ parabol.

Khi vẽ parabol, ta cần chú ý đến dấu của hệ số a (Nếu a >0 thì bề lõm quay lên trên, a <0 bề lõm quay xuống dưới).

b, Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai dạng $y=ax^{2}+bx+c$

Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai, đầu tiên ta khảo sát:

Bảng biến thiên của hàm số y=ax²+bx+c được chia làm 2 trường hợp:

• Với a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left ( -\infty ,\frac{-b}{2a} \right )$ và đồng biến trên khoảng $\left ( \frac{-b}{2a},+\infty \right )$.

• Trong trường hợp a<0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( -\infty ,\frac{-b}{2a} \right )$ và nghịch biến trên khoảng $\left ( \frac{-b}{2a},+\infty \right )$.

Đồ thị hàm bậc 2 là một Parabol.

Để vẽ đường parabol $y=ax^{2}+bx+c$ ta thực hiện các bước như sau:

• Xác định toạ độ đỉnh $I(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta }{4a})$.

• Xác định trục đối xứng $x=\frac{-b}{2a}$ và hướng bề lõm của parabol.

• Xác định một số điểm cụ thể của parabol (ví dụ như giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

• Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Với a>0

Với a<0

Đăng ký ngay khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!

2. Các bài tập hàm số bậc hai kèm cách giải đơn giản nhất

Bài tập 1: Cho hàm số: y = f(x) = $ax^{2}+2x-7$ (P).

Tìm a để đồ thị (P) đi qua A(1, -2)

Giải: 

Ta có: $A\left ( 1,-2 \right )\epsilon P$ nên : -2 = a.12 + 2.1 – 7 

⇔ a = 3

Vậy : y = f(x) = $3x^{2}+2x-7$ (P)

Bài tập 2: Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

y = $3x^{2}-4x+1$ ( a = 3; b = -4; c = 1)

TXĐ: D = R. Ta có:

Tọa độ đỉnh I$\left ( \frac{2}{3},\frac{-1}{3} \right )$.

Trục đối xứng: x = $\frac{2}{3}$

Tính biến thiên:

a = 3 > 0 hàm số nghịch biến trên $\left ( -\infty; \frac{-2}{3} \right )$ và đồng biến trên khoảng $\left ( \frac{2}{3};+\infty  \right )$

Bảng biến thiên:

Các điểm đặc biệt:

(P) giao trục hoành y = 0: $3x^{2}-4x+1=0$ <=> x = 1; x = $\frac{1}{2}$

(P) giao trục tung: x = 0 => y = 1

Đồ thị hàm số y = $3x^{2}-4x+1$ là đường parabol (P) có:

Đỉnh I$\left ( \frac{2}{3},\frac{-1}{3} \right )$.

Trục đối xứng: x = $\frac{2}{3}$.

(P) quay bề lõm lên trên.

Bài tập 3: Xác định parabol (P) y= $ax^{2}+bx+c$ biết:

 (P) có đỉnh I (1,2) và đi qua A (2,3) 

Giải: 

Bài tập 4: Xác định parabol (P): y=$ax^{2}+bx+c$, $a\neq 0$ biết:

 C = 2 và (P) đi qua B(3;-4) và có trục đối xứng là x= -32

Giải:

Bài tập 5: Xác định parabol (P): y=$ax^{2}+bx+c$, $a\neq 0$ biết:

Hàm số y=$ax^{2}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi x=$\frac{1}{2}$ và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1

Giải:

Bài tập 6: Xác định parabol (P): y=$ax^{2}+bx+c$, $a\neq 0$ biết:

(P) đi qua M(4;3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho $\Delta INP$ có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3.

Giải:

Trên đây là tổng hợp lý thuyết và bài tập đầy đầy đủ và chi tiết nhất về hàm số bậc hai. Hy vọng rằng các bạn học sinh có thể làm quen với bài học để giải toán một cách hiệu quả. Hãy truy cập vào Vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức liên quan đến môn toán nhé!

>> Xem thêm: Thành thạo mọi bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit