Trọn bộ lý thuyết và bài tập điển hình về hàm số luỹ thừa lớp 12

Trước khi đi vào phần lý thuyết và các bài tập hàm số luỹ thừa, các em cùng VUIHOC khái quát chung về khối kiến thức này thông qua bảng sau nhé!

Để giúp các em thuận tiện ôn tập hơn, VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết hàm số luỹ thừa tại file dưới đây. Các em tải về để ôn tập nhé!

Tải xuống bộ lý thuyết hàm số luỹ thừa siêu đầy đủ và chi tiết

1. Tóm tắt lý thuyết chung về hàm số lũy thừa

1.1. Khái niệm về hàm số lũy thừa

Trong chương trình toán 12 hàm số luỹ thừa, các em đã được học định nghĩa về hàm số luỹ thừa như sau:

Hàm số $y=x^{\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm luỹ thừa.

Đối với kiến thức về hàm số luỹ thừa 12, các em cần đặc biệt lưu ý về tập xác định, cụ thể như sau:

Tập xác định của hàm số $y=x^{\alpha }$ là:

• $D=\mathbb{R}$ nếu α là số nguyên dương.

• $D=\mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}$ với α nguyên âm hoặc bằng 0

• $D=\left \{ 0;+\infty \right \}$ với α không nguyên.

1.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa lớp 12

1.2.1. Khái niệm đạo hàm

Trong chương trình lớp 11, các em đã được học đạo hàm của hàm luỹ thừa $y=x^{n} (n\in \mathbb{N}, n\geq 1)$ và $y=\sqrt{x}$  là:

$(x^{n})'=n.x^{n-1} (x\in \mathbb{R}$

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ hay $(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} (x>0)$

Do vậy, người ta chứng minh được hàm số luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ với $x>0$ và $(x)'=x-1$

1.2.2. Các dạng của đạo hàm hàm số luỹ thừa

Trong toán 12 hàm số luỹ thừa, các thầy cô VUIHOC đã tổng hợp được 4 dạng đạo hàm hàm luỹ thừa như sau:

Dạng 1: Đối với hàm luỹ thừa có số mũ tổng quát

Hàm số $y=x^{\alpha }$ có đạo hàm tại mọi $x\in (0;+\infty )$ và $y'=(x^{\alpha })'=\alpha .x^{\alpha -1}$

Nếu hàm số $u=u(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng $J$ thì hàm số $y=u^{\alpha }(x)$ cũng có đạo hàm trên $J$ và

Dạng 2: Hàm số luỹ thừa có số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là  và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa tổng quát được mở rộng thành $x\in \mathbb{R}$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$ và:

Dạng 3: Hàm luỹ thừa có số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và có đạo hàm tại mọi $x$ khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành $x\neq 0$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$

$\forall x\in J,[u^{n}(x)]'=nu^{n-1}(x)u'(x)$

nếu $u=u(x)\neq 0$ có đạo hàm trong khoảng $J$

Dạng 4: Đạo hàm của căn thức

Hàm số $y=\sqrt[n]{x}$ có thể xem là mở rộng của hàm số luỹ thừa $y=x^{\frac{1}{n}}$ (tập xác định của $y=\sqrt[n]{x}$ chứa tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ và trên tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ thì hai hàm số sẽ trùng nhau).

• Khi $n$ lẻ thì hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Trên khoảng $(0;+\infty )$ ta có $y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ và $(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$, do đó $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

=> Công thức này còn đúng với cả $x<0$ và hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ không có đạo hàm tại $x=0$

• Khi n chẵn hàm $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $[0;+\infty )$, không có đạo hàm tại $x=0$ và có đạo hàm tại mọi $x>0$ tính theo công thức:

$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Tóm lại, ta có $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ đúng với mọi $x$ làm cho hai vế có nghĩa.

Kết luận: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu $u=u(x)$ là hàm có đạo hàm trên khoảng $J$ và thoả mãn điều kiện $u(x)>0$, $\forall x\in J$ khi $n$ chẵn, $u(x)\neq 0,\forall x\in J$ khi $n$ lẻ thì:

 $\forall x\in J, (\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}$

1.3. Tính chất của hàm số luỹ thừa

Ta xét hàm luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\infty )$:

Nhìn đồ thị ta thấy,  hàm số luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ luôn đi qua điểm $I(1; 1)$

2. Các dạng bài tập cơ bản

2.1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Đối với bài toán tìm tập xác định của toán 12 hàm số luỹ thừa, các em cần nắm vững các bước làm sau:

Bước 1: Xác định số mũ của hàm số luỹ thừa

Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định

•  nguyên dương: D = R

•  nguyên âm hoặc =0: D=R\{0}

•  không nguyên: D=$[0;+\infty )$

Bước 3: Giải các bất phương trình để tìm tập xác định của hàm luỹ thừa

Ta xét ví dụ sau để hiểu hơn về cách giải dạng bài tập này:

2.2. Dạng tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Trong dạng toán đạo hàm hàm số luỹ thừa 12 này, các em áp dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm để giải. Các bước để tiến hành giải bài tập tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa gồm 3 bước sau:

Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

Bước 3: Tính toán và kết luận.

Các em cùng đọc bài toán minh hoạ dưới đây để có cái nhìn rõ ràng hơn về dạng bài này:

2.3. Dạng khảo sát hàm số luỹ thừa lớp 12

Ta cùng xét hàm số luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\infty )$:

Trên thực tế, mỗi dạng hàm số luỹ thừa khác nhau đều có tập xác định khác nhau tùy thuộc vào điều kiện của $y=x^{\alpha }$. Ta cùng xem xét ví dụ sau đây để hiểu cách áp dụng vào một bài toán khảo sát hàm số luỹ thừa thực tế:

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{-\frac{3}{4}}$

• Tập xác định: $D=(0;+\infty )$

• Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: $y'=-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$

Ta có $y’<0$ trên khoảng $(0;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến.

Tiệm cận: $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}y=+\infty$ , $\lim_{x\rightarrow +\infty }y=0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

• Bảng biến thiên:

 3. Bài tập áp dụng

 Để hiểu kỹ hơn về lý thuyết và cách áp dụng công thức vào bài toán cụ thể, VUIHOC đã tổng hợp cho các em bộ bài tập củng cố về hàm luỹ thừa, các em tải về để luyện tập thêm nhé!

Tải xuống bài tập củng cố về hàm số luỹ thừa

Đối với phần kiến thức hàm số luỹ thừa, thầy Thành Đức Trung có 1 buổi livestream cực hay, ôn tập toàn bộ lý thuyết cũng như hướng dẫn giải nhanh các bài tập. Các em cùng xem tại video dưới đây để học cùng thầy nhé!

Trên đây là trọn bộ lý thuyết tổng quát và bài tập thực hành về kiến thức hàm số luỹ thừa trong chương trình học THPT. Mời các em đón đọc những bài viết tiếp theo để tìm hiểu sâu hơn về hàm số luỹ thừa 12 nhé!