Tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 11:51 23/07/2024 1,597 Tag Lớp 9

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì? Theo dõi bài học để biết khái niệm về tỉ số lượng giác của góc nhọn, hai góc phụ nhau và cách tính tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

- Cho góc nhọn $\large \alpha$ . Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng $\large \alpha$ . Ta có:

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của $\large \alpha$ , kí hiệu là sin $\large \alpha$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của $\large \alpha$ , kí hiệu là cos $\large \alpha$ .

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc $\large \alpha$ gọi là tang của $\large \alpha$ , kí hiệu là tan $\large \alpha$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc $\large \alpha$ gọi là côtang của $\large \alpha$ , kí hiệu là cot $\large \alpha$ .

Cụ thể với tam giác vuông ABC, ta có:

$\large \sin \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}; \cos \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$

$\large \tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}; \cot \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$

Chú ý: Với góc nhọn $\large \alpha$ , ta có:

$\large 0< \sin \alpha <1; 0<\cos \alpha <1$

$\large \cot\alpha =\frac{1}{\tan\alpha }$

- Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Góc $\large \alpha$	30^o	45^o	60^o
$\large \sin\alpha$	$\large \frac{1}{2}$	$\large \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\large \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\large \cos\alpha$	$\large \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\large \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\large \frac{1}{2}$
$\large \tan\alpha$	$\large \frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\large \sqrt{3}$
$\large \cot\alpha$	$\large \sqrt{3}$	1	$\large \frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

- Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia:

$\large \sin (90^{o}-\alpha )=\cos\alpha$
$\large \tan (90^{o}-\alpha )=cot\alpha$
$\large \cos (90^{o}-\alpha )=\sin\alpha$
$\large \cot (90^{o}-\alpha )=\tan\alpha$

- Chú ý: Từ nay khi viets các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta có thể viets sin A thay cho $\large \sin \widehat{A}$ .

3. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

4. Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9

4.1 Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 kết nối tri thức

Bài 4.1 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

a) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225.

Do đó AC = 15 cm.

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\large \sin B=\cos C = \frac{AC}{BC}=\frac{15}{17};$

$\large \cos B=\sin C = \frac{AB}{BC}=\frac{8}{17};$

$\large \tan B=\cot C = \frac{AC}{AB}=\frac{15}{8};$

$\large \cot B=\tan C = \frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}.$

b) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 1,2² + 0,9² = 2,25

Do đó BC = 1,5 cm.

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\large \sin B=\cos C = \frac{AC}{BC}=\frac{0,9}{1,5}=\frac{3}{5};$

$\large \cos B=\sin C = \frac{AB}{BC}=\frac{1,2}{1,5}=\frac{4}{5};$

$\large \tan B=\cot C = \frac{AC}{AB}=\frac{0,9}{1,2}=\frac{3}{4};$

$\large \cot B=\tan C = \frac{AB}{AC}=\frac{1,2}{0,9}=\frac{4}{3}.$

Bài 4.2 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Xét $\large \Delta$ ABC có $\large \widehat{B}=60^{o}$ , cạnh kề với góc B là AB = 3 cm. Ta cần tính cạnh đối của góc B là AC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB.\tan B = 3.\tan 60^{o}=3\sqrt{3}$

Vậy cạnh đối của góc nhọn 60° là $\large 3\sqrt{3}$ cm.

Bài 4.3 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A có $\large \widehat{B}=30^{o}$ , cạnh đối với góc B là AC = 5 cm. Ta cần tính cạnh huyền của tam giác là BC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{5}{sin30^{o}}=10cm$

Vậy cạnh huyền của tam giác là 10 cm.

Bài 4.4 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Gọi hình chữ nhật trong bài là hình chữ nhật ABCD với chiều rộng là cạnh $\large AD=\sqrt{3}$ , chiều dài là cạnh CD = 3, đường chéo AC, góc tạo bởi đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là góc $\large \alpha$ .

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại D, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\large \tan\alpha =\frac{CD}{AD}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60^{o}$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đã cho là 60°.

Bài 4.5 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

a) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

⦁ sin55° = cos(90° – 55°) = cos35°;

⦁ cos62° = sin(90° – 62°) = sin28°;

⦁ tan57° = cot(90° – 57°) = cot33°;

⦁ cot64° = tan(90° – 64°) = tan26°.

b) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\large \frac{\tan25^{o}}{\cot65^{o}}=\frac{\cot(90^{o}-25^{o})}{\cot65^{o}}=\frac{\cot65^{o}}{\cot65^{o}}=1$

tan34° – cot56° = tan34° – tan(90° – 56°) = tan34° – tan34° = 0.

Bài 4.6 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°12’ ≈ 0,645; cos52°54’ ≈ 0,603; tan63°36’ ≈ 2,014; cot35°20’ ≈ 1,411.

Bài 4.7 trang 73 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

4.2 Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\large AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4cm$

- Các tỉ số lượng giác của góc B là:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}; \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}; \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\large AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5cm$

- Các tỉ số lượng giác của góc B là:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}; \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5}; \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}$

c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\large AC=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}-5^{2}}=5cm$

- Các tỉ số lượng giác của góc B là:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}; \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{5}=1; \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{5}=1$

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\large BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4a^{2}}=2a$

- Các tỉ số lượng giác của góc B là:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=\frac{1}{2}; \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}; \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Bài 2 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

$\large a) A=\frac{\sin 30^{o}.\cos30^{o}}{\cot45^{o}}=\frac{\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$b) B=\frac{\tan30^{o}}{\cos45^{o}.\cos60^{o}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Bài 3 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) sin 60° = cos (90° – 60°) = cos 30°;

b) cos 75° = sin (90° – 75°) = cos 15°;

c) tan 80° = cot (90° – 80°) = cot 10°.

Bài 4 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được các tỉ số lượng giác như sau:

a) Tỉ số lượng giác của góc 26° là:

sin 26° ≈ 0,44; cos 26° ≈ 0,9;

tan 26° ≈ 0,49; cot 26° ≈ 2,05.

b) Tỉ số lượng giác của góc 72° là:

sin 72° ≈ 0,95; cos 72° ≈ 0,31;

tan 72° ≈ 3,08; cot 72° ≈ 0,32.

c) Tỉ số lượng giác của góc 81°27' là:

sin 81°27' ≈ 0,99; cos 81°27' ≈ 0,15;

tan 81°27' ≈ 6,65; cot 81°27' ≈ 0,15.

Bài 5 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

Đặt tam giác ABC như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\large \tan\alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được $\large \alpha$ ≈ 54° (làm tròn đến độ).

Bài 7 trang 66 sgk toán 9/1 Chân trời sáng tạo

Gọi giao điểm giữa bức tường và mặt đất là C.

Bức tường vuông góc với mặt đất nên AC $\large \perp$ BC hay $\large \widehat{ACB}=90^{o}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$\large \sin\alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{7}{12}$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được $\large \alpha$ ≈ 36° (làm tròn đến độ).

4.3 Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

=> AB² = BC² – AC² = 6² – 4² = 20.

Do đó $\large AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$\large \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}; \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\large \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}; \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Bài 2 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 2² + 3² = 13.

=> BC = $\large \sqrt{13}$ cm.

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$\large \sin C=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{13}}; \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{\sqrt{13}}$

$\large \tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}; \cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}$

Bài 3 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ MNP, ta có: NP² = 13² = 169 và MN² + MP² = 5² + 12² = 169.

=> NP² = MN² + MP².

Do đó $\large \Delta$ MNP vuông tại M (định lí Pythagore đảo).

Khi đó:

$\large \sin N=\frac{MP}{NP}=\frac{12}{13}; \cos N=\frac{MN}{NNP}=\frac{5}{13}$

$\large \tan N=\frac{MP}{MN}=\frac{12}{5}; \cot N=\frac{MN}{MP}=\frac{5}{12}$

Bài 4 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Vì 27° và 63° là hai góc phụ nhau nên ta có:

a) sin27° = cos63°;

b) cos27° = sin63°;

c) tan27° = cot63°;

d) cot27° = tan63°.

Bài 5 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Bài 6 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Vì 25° và 65° là hai góc phụ nhau nên ta có sin25° = cos65° và sin65° = cos25°.

Do đó:

A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°

= cos65° + cos25° – cos25° – cos65°

= 0.

Bài 7 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

a) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$\large \sin\alpha =\sin B=\frac{AC}{BC}; \cos\alpha =\cos B = \frac{AB}{BC}$

$\large \tan \alpha =\tan B=\frac{AC}{AB}; \cot\alpha =\cos B = \frac{AB}{AC}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² (định lí Pythagore);

Ta có: S = sin²35° + cos²35° = 1; T = tan61°.cot61° = 1.

Bài 8 trang 81 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABH vuông tại H, ta có:

$\large \tan \alpha =\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{2}{5}\Rightarrow \alpha \approx 22^{o}$

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Tỉ số lượng giác của góc nhọn toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: