Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn - lý thuyết và bài tập Toán 10

1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:

$ax+by\leq c(ax+by<c, ax+by\geq c, ax+by>c)$

Trong đó:

• a, b, c là những số thực cho trước

• a và b không cùng bằng 0

• x và y là các biến (ẩn số)

Cặp biến số $(x_0;y_0)$ sao cho $ax_0+by_0c$ là bất đẳng thức đúng thì cặp biến số đó được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình $ax+by\leq c$.

Ví dụ về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $4x+2y>1$; $x-2y<-2$;...

2. Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

2.1. Định lý

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ chính là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình $3x-2y>-6$ được biểu diễn theo hình dưới đây:

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Cho mặt phẳng toạ độ Oxy, có đường thẳng d: $ax+by+c=0$ chia Oxy thành 2 nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó chứa các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $ax+by+c>0$, nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $ax+by+c<0$.

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax+b+c<0$, các em học sinh thực hiện theo các bước sau đây:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$

• Bước 2: Xét điểm $M(x_0;y_0)$ không thuộc đường thẳng d. Thường ở bước này, ta sẽ lấy điểm M là gốc toạ độ.

• Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh giá trị với c.

• Bước 4: Kết luận

  • Nếu $ax_0+by_0<c$ thì nửa mặt phẳng chứa điểm $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

  • Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm $M_0$ chính là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn ax_0+by_0<c chính là miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn $ax_0+by_0\leq c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=0$.

Xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 10:

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn $2x-y\geq 0$

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng $(d):2x-y=0$. Ta được đường thẳng (d) chia mặt phẳng Oxy thành 2 nửa. Chọn điểm $M(1;0)$ không thuộc đường thẳng (d), ta thấy M là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho.

Vì vậy, miền nghiệm cần tìm chính là nửa mặt phẳng bờ (d) và chứa điểm $M(1;0)$ (miền không được tô màu xanh ở hình vẽ).

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)$

Hướng dẫn giải:

$\Leftrightarrow -x+2+2(y-2)<2(1-x)$

$\Leftrightarrow -x+2+2y-4<2-2x$

$\Leftrightarrow x+2y<4 (1)$

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

• Vẽ đường thẳng $x+2y=4$

• Thay toạ độ (0;0) vào bất phương trình (1), ta được 0+0<4 => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ dưới đây.

Ví dụ 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

Hướng dẫn giải:

$\Leftrightarrow 3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

$\Leftrightarrow 3x-3+4y-8<5x-3$

$\Leftrightarrow -2x+4y<8$

$\Leftrightarrow x-2y>-4 (2)$

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

• Vẽ đường thẳng $x-2y=-4$

• Thay toạ độ (0;0) vào bất phương trình (2), ta được: 0+0>-4 (đúng) => (0;0) là 1 nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đề bài là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau đây.

Đăng ký ngay khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!

3. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học ở các bài trước. 

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y mà ta cần tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho.

Cũng giống như bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện giống như xét bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Để hiểu chi tiết hơn cách xét miền nghiệm dạng hệ bất phương trình, ta cùng xem ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau đây:

$d_1: 3x+y=6$

$d_2: x+y=4$

$d_3: x=0(Oy)$

$d_4: y=0(Ox)$

Do điểm $M_0(1;1)$ có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ, nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$, $(d_4)$ không chứa điểm $M_0$. Miền không bị tô đậm trong hình dưới đây chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn đề bài.

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường thẳng $(d):x+y-2=0$, $(d’’):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng Oxy.

Xét điểm gốc toạ độ $O(0;0)$: Điểm O không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\geq 0$ và $x-3y+3/leq 0$.

Như vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình đề bài là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau trên mặt phẳng toạ độ Oxy:

$(d):x+y=0$

$(d’):2x-3y+6=0$

$(d’’):x-2y+1=0$

Xét điểm $O(0;0)$: Điểm 0 là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\geq 0$.

Xét điểm $M(1;0)$: Điểm M là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ => điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y>0$.

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trong hình vẽ dưới đây.

4. Áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn vào bài toán kinh tế

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn thường được áp dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế thực tế. Loại bài toán này có cả một ngành toán học nghiên cứu có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu cách giải bài toán kinh tế áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Ví dụ: Có 1 xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm, mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40.000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30.000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi x $(x_0)$ là số cân mà loại I cần sản xuất, y $(y_0)$ là số cân loại II cần sản xuất.

Từ đề bài suy ra: số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, mức lợi nhuận thu được là $40000x+30000y$.

Theo giả thiết đề bài, xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc => $2x+4y\leq 200$ hoặc $x+2y-100\leq 0$, $30x+15y\leq 1200$ hay $2x+y-80\leq 0$.

Từ đó, bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho $H(x;y)=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng $(d’):x+2y-100=0$ và $(d’’):2x+y-80=0$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn (*) là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

Giá trị lớn nhất của $H(x;y)=40000x+30000y$ đạt giá trị tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).

Ta có: H(0;0)=0, H(40;0)=1600000, H(0;50)=1500000, H(20;40)=2000000

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=2000000 khi (x;y)=(20;40)

Vì vậy, xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết bất phương trình  bậc nhất 2 ẩn Toán lớp 10, kèm theo ví dụ có giải chi tiết minh hoạ để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn các phần kiến thức VUIHOC muốn truyền đạt. Để đọc và học nhiều hơn về Toán lớp 10, Toán THPT,... các em truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký ngay tại đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết