Tất tật cách giải bất phương trình logarit chứa tham số cực dễ hiểu

Để giải được bài toán bất phương trình Logarit chứa tham số trước hết cần nắm được kiến thức tổng quan về bất phương trình Logarit. Xem ngay ở bảng dưới đây:

1. Lý thuyết cần nắm vững

1.1. Định nghĩa bất phương trình logarit

Trước khi tìm hiểu về bất phương trình logarit chứa tham số, ta cần hiểu rõ định nghĩa về bất phương trình logarit. 

- Định nghĩa: Bất phương trình logarit cơ bản sẽ có dạng:$log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x< b; log_{a}x\leqslant b$ với điều kiện $a> b; a\not\equiv 0$

Xét bất phương trình $log_{a}x> b$, ta có:

+ Trường hợp a>1: $log_{a}x> b\Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp a>1: $log_{a}x> b\Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Minh họa bất phương trình $log_{a}x> b$ bằng đồ thị với 2 trường hợp, ta có:

Như vậy:

+ Trường hợp a>1: $log_{a}x> b$ khi và chỉ khi $a> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_{a}x> b$  khi và chỉ khi $0<x< a^{b}$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình  $log_{a}x> b$  bao gồm:

Ví dụ:

a, $log_{2}x>7\Leftrightarrow x> 2^{7}\Leftrightarrow x> 128$

b, $log_{\frac{1}{2}}x> 3\Leftrightarrow 0<x<(\frac{1}{2})^{3}\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{8}$

1.2. Bất phương trình logarit chứa tham số

Vậy, bất phương trình logarit chứa tham số khác gì bất phương trình logarit cơ bản? Ngoài biến số x, bất phương trình logarit còn có thêm tham số m.

Ví dụ minh họa: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in[10;-10]$ để bất phương trình $4log_{2}^{2}\sqrt{2}+log_{2}x+m\geqslant 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in[1;64]$

1.3. Các cách giải bất phương trình logarit chứa tham số

Để giải các dạng bài tập về bất phương trình logarit chứa tham số, ta có thể áp dụng một trong những cách sau.

- Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $t= log_{a}u^{x}$ tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được tập xác định của biến t.

- Phương pháp hàm ẩn

Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f(u)= f(v) với f(t) là hàm số đơn điệu và đại diện cho 2 vế bất phương trình khi đó  $f(u)= f(v) \Leftrightarrow u=v$

- Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2

- Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $log_{a}u(x)$ tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được tập xác định của biến t

- Phương pháp hàm số

Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f(u)= f(v) với f(t) là hàm số đơn điệu và đại diện cho 2 vế của bất phương trình khi đó $f(u)=(v) \Leftrightarrow u=v$

- Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2

Xét hàm số $f(x)=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} và x_{2}$

- Ta có $\Delta =b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2}= -\frac{b}{a}&  & \\ x_{1}x^{2}=\frac{c}{a}&  & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ x_{1}+ x_{2}> 0& & \\ x_{1}x^{2}> 0& & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x) >0 có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$

- Bất phương trình f(x)>0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

- Bất phương trình f(x)<0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong bài thi THPT Quốc Gia ngay

2. Giải bất phương trình logarit chứa tham số dạng $(x)\geqslant$ 0hoặc $f(x)\leqslant 0$ có nghiệm trên tập xác định D

2.1. Các bước giải bất phương trình Logarit chứa tham số

- Bước 1: Cô lập tham số m, tách m ra khỏi biến số x rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x)\geqslant P(m)$ hoặc $f(x)\leqslant P(m)$

- Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên tập D.

- Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số P(m) sao cho:

• $f(x)\leqslant P(m)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow P(m)\geqslant max_{x\in D}f(x)$

• $f(x)\geqslant P(m)$  có nghiệm trên $D\Leftrightarrow P(m)\geqslant min_{x\in D}f(x)$

2.2. Một số lưu ý cần nhớ

- Bất phương trình $f(x)\leqslant P(m)$ nghiệm đúng với $\forall x\in D\Leftrightarrow P(m)\geqslant min_{x\in D}f(x)$

- Bất phương trình $f(x)\geqslant P(m)$ nghiệm đúng với $\forall x\in D\Leftrightarrow P(m)\geqslant max_{x\in D}f(x)$

- Nếu $f(x;m)\geqslant  0$; hoặc $f(x,m)\geqslant 0;  \forall x\in R$ là tam thức bậc hai, ta có thể sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

2.3. Bài tập minh họa

Các bạn có thể xem thêm các dạng bài tập tại đây: Bài tập Bất phương trình Logarit chứa tham số

Trên đây là lý thuyết và công thức giải bất phương trình logarit chứa tham số trong chương trình Toán 12 rất dễ áp dụng, nhanh và chính xác giúp các bạn giải quyết toàn bộ các bài tập liên quan. Bạn hãy ghi nhớ cách áp dụng khi làm bài tập cũng như trong quá trình ôn thi Toán tốt nghiệp THPT nhé. Chúc bạn học tốt!

>>>Xem thêm: 

Cách giải bất phương trình Logarit