Các phép toán trên tập hợp - đầy đủ lý thuyết và bài tập Toán 10

1. Tổng quan lý thuyết tập hợp

1.1. Định nghĩa

Trước khi tìm hiểu về các phép toán trên tập hợp, ta cần hiểu định nghĩa thế nào là tập hợp. Theo chương trình Đại số lớp 10 đã học, Tập hợp lớp 10 là một khái niệm cơ bản của toán học và không có định nghĩa chung. Các loại tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như là: A, B,... R, X, Y. Phần tử của tập hợp lớp 10 được ký hiệu theo các chữ cái in thường a,b,...x,y,z.

Ký hiệu $a\in A$ dùng để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, hay nói cách khác a thuộc tập hợp A. Ngược lại, ký hiệu aA dùng để chỉ a không thuộc tập hợp A.

Một tập hợp được xác định bằng:

• Liệt kê các phần tử của tập hợp: $A={a_1; a_2; a_3;...}$

• Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử thuộc tập hợp: $A={x\in X|p(x)}$

Ví dụ: A={1;2} hoặc là $A={x\in R/x^2-3x+2=0}$

1.2. Các loại tập hợp thường gặp

Trước khi tìm hiểu về các phép toán trên tập hợp, các em cần nắm được các loại tập hợp để từ đó biết cách áp dụng công thức và tính toán cho chính xác. Các loại tập hợp thường gặp đó là:

• Tập hợp rỗng: Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào. Tập hợp rỗng ký hiệu là $\varnothing $. $A\neq \varnothing \Leftrightarrow x:x\in A$

• Tập hợp con: 

Nếu ta có mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của tập B. Ký hiệu là $A\subset B$.

A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.

Tập hợp con có 3 tính chất cần lưu ý sau:

• A ⊂ A với mọi tập A.

• Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

• ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

• 2 tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B bằng nhau là khi A ⊂ B và B ⊂ A, hay ta nói rằng tập hợp A bằng với tập hợp B, viết là A=B. A = B ⇔(∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B).

2. Các phép toán tập hợp lớp 10

Để giải được các bài toán về tập hợp, phần kiến thức về các phép toán trên tập hợp là nội dung quan trọng các em học sinh không được bỏ qua. Các phép toán trên tập hợp lớp 10 bao gồm phép giao, phép hợp, phép hiệu và lấy phần bù. Cùng VUIHOC tìm hiểu chi tiết dưới đây.

2.1. Giao của hai tập hợp

Giao của 2 tập hợp A và B là tập hợp C bao gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A và vừa thuộc tập hợp B. Ký hiệu của phép giao này là: $C=A\cap B$.

Vậy $A\cap B={x|x\in A;x\in B}$

$x\in A\cap B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\in A\\ x\in B

\end{matrix}\right.$

Biểu diễn giao của hai tập hợp - phép toán trên tập hợp bằng biểu đồ Ven như sau:

Ví dụ: Xét các tập hợp sau đây:

Liệt kê phần tử của 3 tập hợp A, B, C như sau:

A={1, 2, 3, 4, 6, 12}

B={1, 2, 3, 6, 9, 18}

C={1, 2, 3, 6}

Ta thấy các phần tử của tập hợp C đều là phần tử của tập hợp A và B. Vì vậy, $C=A\cap B$.

Đăng ký ngay khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!

2.2. Hợp của hai tập hợp toán 10

Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp C gồm các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B. Ký hiệu hợp của A và B là $C=A\cup B$

Vậy $A\cup B={x|x\in A hoặc x\in B}$

Tập hợp AB được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ven như sau:

Ví dụ: Xét 2 tập hợp sau

A={1, 3, 5, 7, 9}

B={2, 4, 6, 8, 10}

C=$A\cup B$={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

2.3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Hiệu của tập hợp A và B là tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B. Ký hiệu hiệu của tập hợp là C=A\B

Vậy $A\B={x|x\in A; x\notin B}$

Hiệu của tập hợp A và B được biểu diễn trên biểu đồ Ven như sau:

3. Bài tập các phép toán tập hợp lớp 10 chọn lọc

Để thành thạo công thức các phép toán trên tập hợp, các em cùng VUIHOC luyện tập 10 câu hỏi trắc nghiệm (có đáp án) dưới đây nhé!

Câu 1: Cho hai tập hợp A={1;5} và B={1;3;5}. Tìm $A\cap B$:

1.  $A\cap B=1$

2. $A\cap B={1; 3}$

3. $A\cap B={1; 3; 5}$

4. $A\cap B={1;5}$

Câu 2: Cho 2 tập hợp A={a, b, c, d} và B={c, d, m, k, l}. Tìm $A\cap B$:

1. $A\cap B={a; b}$

2. $A\cap B={c, d, m}$

3. $A\cap B={c; d}$

4. $A\cap B={a, b, c, d, m, k, l}$

Câu 3: Cho hai tập hợp A={1;3;5;8} và B={3;5;7;9}. Xác định tập hợp AB:

A.​​ A∪B=3;5. B.​​ A∪B=1;3;5;7;8;9.

C.​​ A∪B=1;7;9. D.​​ A∪B=1;3;5.

Câu 4: Cho các tập hợp sau:

A={a;b;c}

B={b;c;d}

C={b;c;e}

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.​​ A∪B∩C=A∪B∩C. B.​​ A∪B∩C=A∪B∩A∪C.

C.​​ A∪B∩C=A∪B∩A∪C. D.​​ A∩B∪C=A∪B∩C.

Câu 5: Cho 2 tập hợp: A={0;1;2;3;4} và B={2;3;4;5;6}. Xác định tập hợp B\A?

A.​​ B\A=5. B.​​ B\A=0;1. C.​​ B\A=2;3;4. D.​​ B\A=5;6.

Câu 6: Cho hai tập hợp A={0;1;2;3;4} và B={2;3;4;5;6}. Xác định tập hợp​​ X=A\B∪B\A.

A.​​ X=0;1;5;6. B.​​ X=1;2. C.​​ X=2;3;4. D.​​ X=5;6.

Câu 7: Cho​​ A​​ là tập hợp các nghiệm của phương trình​​ $x^2-4x+3 =0$;​​ B​​ là tập hợp các số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4​​. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.​​ A∪B=A. B.​​ A∩B=A∪B. C.​​ A\B=∅. D.​​ B\A=∅.

Câu 8: Lớp​​ 10C1​​ có​​ 7​​ học sinh giỏi môn Toán,​​ 5​​ học sinh giỏi môn Lý,​​ 6 học sinh giỏi môn Hóa,​​ 3​​ học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Lý,​​ 4​​ học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Hóa,​​ 2​​ học sinh giỏi cả 2 môn Lý và Hóa,​​ 1​​ học sinh giỏi cả​​ 3​​ môn Toán, Hoá và Lý. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp​​ 10C1​​ là bao nhiêu?

A.​​ 9. B.​​ 10. C.​​ 18. D.​​ 28.

Câu 9: Cho tập hợp​​ A≠∅.​​ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.​​ A\∅=∅. B.​​ ∅\A=A. C.​​ ∅\∅=A. D.​​ A\A=∅.

Câu 10: Cho hai tập hợp​​ M,N​​ thỏa mãn​​ M⊂N.​​ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.​​ M∩N=N. B.​​ M\N=N. C.​​ M∩N=M. D.​​ M\N=M.

Đáp án:

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản về các phép toán trên tập hợp Toán lớp 10. Các em học sinh cần nắm vững phần kiến thức này vì các phép toán trên tập hợp là nền tảng cơ bản giúp các em có tư duy toán học tốt hơn, biết cách vận dụng để giải nhiều dạng bài nâng cao hơn. Để đọc và học thêm nhiều bài giảng Toán lớp 10, Toán THPT thú vị khác, truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học ngay tại đây các em nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết