Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Và Bài Tập Vận Dụng

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Như chúng ta đã biết, cấp số nhân có thể được hiểu là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà các số hạng trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với q (q là một số không đổi).

Cấp số nhân $U_{n}$ được xác định bởi: $u_{1}=a,u_{n+1}=u_{n}.q (n\epsilon N^{*})$, q được gọi là công bội.

Như vậy, có thể hiểu cấp số nhân có dạng: $x,xq,xq^{2},xq^{3},xq^{4},...$ với x là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: cấp số nhân có số hạng đầu là 3, công bằng 2 là: 3;6;12;18;36,...

Ta có khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn như sau:

Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân mà có công bội q với $\left | q \right |< 1$.

Ví dụ: Các dãy số sau đều là cấp số nhân lùi vô hạn:

a, $1;\frac{1}{5};\frac{1}{5^{2}};...;\frac{1}{5^{n-1}};...$

b, $2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{3^{2}};...;\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{1}{2^{n-2}};...$

c, $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$

2. Công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh họa

Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là một giá trị hữu hạn và hoàn toàn có thể tính được. 

Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$. 

Khi đó tổng của các số hạng thuộc $U_{n}$ là:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n-1}+u_{n}$
$\Rightarrow S_{n}=u_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Giới hạn hai vế ta sẽ được:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Đây cũng chính là công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$ với $U_{n}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}$

Lời giải: 

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{1}{3}$

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4, công bội là ½. Hãy tính tổng tất cả các số hạng thuộc cấp số nhân đó.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta tính được tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó là:

$S=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ môn Toán

3. Một số bài tập trắc nghiệm tổng cấp số nhân lùi vô hạn (có lời giải)

Câu 1: Cấp số nhân lùi vô hạn sau đây có tổng các số hạng là:

$\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải: Đây là cấp số nhân vô hạn có $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

Tổng S là S=$\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn: D. 13

Câu 2: $U_{n}=-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};...;\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n-1}...S_{n}$ có kết quả bằng?

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

Lời giải: Ta xác định được $u_{1}=1,q=-\frac{1}{2}$

Tổng $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn C.$\frac{2}{3}$

Câu 3: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn khi có tổng bằng 3 và công bội bằng $\frac{2}{3}$:

A. 1

B. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$

C. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

D. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1}$

Lời giải: $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-\frac{2}{3}}=3=>u_{1}=1$

Đáp án cần chọn: C.$\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

Câu 4: Hãy tìm tổng của dãy số sau:

$-1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{8},...\frac{-1^{n}}{10^{n-1}}...$

A. $\frac{1}{11}$

B. $\frac{5}{11}$

C. $\frac{8}{11}$

D. $-\frac{10}{11}$

Lời giải: $U_{n}=\frac{-1^{n}}{10^{n-1}};U_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{10^{n-1}+1}$
$\Rightarrow U_{n+1}=-\frac{1}{10}U_{n}$

Tổng các số lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-1, q=-\frac{1}{10}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-1}{1+\frac{1}{10}}=\frac{-10}{11}$

Đáp án cần chọn: D. $\frac{-10}{11}$

Câu 5: Tổng của một số nhân lùi vô hạn có kết quả là $\frac{5}{3}$ trong đó tổng 3 số hạng đầu bằng $\frac{39}{25}$. Hãy tìm $u_{1}$ và q cấp số đó?

A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

B. $u_{1}=1,q=-\frac{2}{5}$

C. $u_{1}=-1,q=\frac{2}{5}$

D. $u_{1}=-1,q=-\frac{2}{5}$

Lời giải: 

Đáp án cần chọn: A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

Câu 6: Tính tổng S của $U_{n}$:

$U_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

=> $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn: A. $\frac{1}{3}$

Câu 7: Tổng của cấp số nhân sau là:

$\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};...;\frac{(-1)^{k}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. -1

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{2},q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{-1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{3}$

Đáp án cần chọn: B.$\frac{-1}{3}$

Câu 8: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có:

$u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{-1}{3}$
=>$S= \frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn: A.$\frac{1}{4}$

Câu 9: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...\frac{(-1)^{n+!}}{2^{n}};...$

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{\frac{1}{2}+2}=\frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn: A. $\frac{4}{3}$

Câu 10: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau đây là:

$3;-1;\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{9}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$

Đáp án cần chọn: C. $\frac{9}{4}$

Câu 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$-\frac{1}{4};\frac{1}{16};-\frac{1}{64};...;\frac{(-1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $-\frac{1}{5}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $-\frac{5}{16}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{4},q=\frac{-1}{4}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=-\frac{1}{5}$

Đáp án cần chọn: A. $-\frac{1}{5}$

Câu 12: Câu nào dưới đây là đáp án đúng:

A. Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q thì tổng S=$\frac{u_{1}}{1-q}$

B. $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=>S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$

C. Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}=15, S=60=>q=\frac{3}{4}$

D. Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}=-4, S=-169=>q=-\frac{5}{4}$

Đáp án cần chọn: C. Vì  q=$\frac{3}{4}$<1 => Đây là cấp số nhân lùi vô hạn có S=$\frac{u_{1}}{1-q}=60$

Câu 13: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}=-50, S=100$. Tìm 5 số hạng đầu của cấp số đó

A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25

B. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,125

C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,025

Lời giải: Dựa vào công thức tính tổng ta tính được q=$\frac{1}{2}$

Chọn đáp án C

Câu 14: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}=-1,q=x$ .Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-1;x;-x^{2}$

B. $-1;x;x^{2}$

C. $-1;-x;-x^{2}$

D. $1;x;-x^{2}$

Đáp án cần chọn: C. $-1;-x;-x^{2}$

Câu 15: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}=-x, q=x^{2}$.Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-x;x^{3};x^{5}$

B. $-x;x^{3};x^{4}$

C. $-x;x^{3};x^{6}$

D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Đáp án cần chọn: D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Câu 16: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$5;\sqrt{5};1;\frac{1}{\sqrt{5}};...$

A. $\frac{5\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$

B. $\frac{5\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$

C. $\frac{1-\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$

D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=5,q=\frac{1}{\sqrt{5}}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{5}{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Đáp án cần chọn: D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Câu 17: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;...

A. $-2\frac{8}{11}$

B. $\frac{30}{11}$

C. $-\frac{11}{30}$

D. $\frac{11}{30}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=-3,q=0,1$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-3}{1+0,1}=-2\frac{8}{11}$

Đáp án cần chọn: A. $-2\frac{8}{11}$

Câu 18: Tính: S=$2-\sqrt{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+...$

A. $4+2\sqrt{2}$

B. $4-2\sqrt{2}$

C. $-4+2\sqrt{2}$

D. $-4-2\sqrt{2}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-1\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn: B. $4-2\sqrt{2}$

Câu 19: Tìm q của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64};...;\frac{(1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. 4

C. -4

D. $-\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn: A. $\frac{1}{4}$

Câu 20: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là?

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

Lời giải: 

$\left\{\begin{matrix}
S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=56\\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}=449\end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u_{1}=56(1-q)\\ u_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+...+q^{2n-2})=448\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{1}^{2}.\frac{1}{1-q^{2}}=448$
$\Rightarrow \frac{56^{2}(1-q)}{1+q}=448\Rightarrow q=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow u_{1}=14$

Hy vọng sau bài viết này, các em học sinh đã nắm được cấp số nhân lùi vô hạn là gì, ghi nhớ công thức và biết được cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn trong chương trình Toán 11. Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao. Hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!

>>> Bài viết còn có thể tham khảo thêm:

Cấp số cộng là gì? Các công thức cấp số cộng hay nhất

Cấp số nhân là gì? Tổng hợp các công thức cấp số nhân và bài tập

Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân & bài tập