Chương trình toán 10: Lý thuyết về 3 đường conic

1. 3 đường conic: Đường elip

1.1 Định nghĩa phương trình đường elip

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.

Trong đó các điểm $F_{1},F_{2}$ gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

1.2 Phương trình chính tắc của đường elip

Cho elip có tiêu điểm $F_{1},F_{2}$ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_{1}(-c;0)$ và $F_{2}(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được: 

$M\left ( x;y \right )\epsilon$ elip $\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (1)

Trong đó: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip.

2. 3 đường conic: Đường hypebol

2.1 Định nghĩa đường hypebol

- Diễn giải bằng lời: Trong toán học, đường hypebol hay hypebol là một kiểu đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

- Đường hyperbol được định nghĩa là quỹ tích của tập hợp các điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số giá trị bằng 2a (a bằng độ dài bán trục lớn của đường hypebol). Hai điểm cố định trên gọi là hai tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này chính là đường trục thực của đường hypebol; trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hypebol.

- Diễn giải bằng kí hiệu: Cho hai điểm cố định F₁ , F₂ với F₁F₂ = 2c (c>0) và hằng số a<c .

Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn , Kí hiệu là (H)

Gọi: F₁ và F₂ là tiêu điểm của đường (H)

Khoảng cách F₁F₂ = 2c là tiêu cự của (H) .

2.2 Phương trình chính tắc đường hypebol

Với F₁(-c ;0), F₂(c;0)

M(x ; y) ∈ (H) ⇔ x² a² - y² b² = 1 với b² = c² - a² (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. 3 đường conic: Đường parabol

3.1 Phương trình tổng quát đường parabol

Phương trình đường Parabol được biểu diễn như sau: $y = ax^2 + bx + c $

• Hoành độ của đỉnh chính là $-\frac{b}{2a}$

• Thay tọa độ trục hoành vào phương trình trên, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: $\frac{b^2-4ac}{4a}$

• Tọa độ đỉnh của đường parabol cũng như hình dạng của nó phụ thuộc vào dấu của hệ số a

3.2 Phương trình chính tắc đường parabol

Phương trình chính tắc của một parabol được biết dưới dạng: $y^2 = 2px (p > 0) $

Chứng minh như sau: Cho đường parabol có tiêu điểm E và một đường chuẩn d. 

Kẻ PE ⊥ d (P ∈ d) và ta đặt PE = p. 

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O là trung điểm của PE và điểm E thuộc tia Ox.

Suy ra ta có: $E=(\frac{p}{2};0) , P=(-\frac{p}{2};0) $

Từ đó ta có phương trình của đường thẳng d là: $x + \frac{p}{2} = 0$  

Điểm M(x;y)  nằm trên parabol biết trước khi và chỉ khi khoảng cách ME chính bằng khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, hay là: $(x - \frac{p}{2})2+ y^2 = x+\frac{p}{2}$

Bình phương cả 2 vế của đẳng thức sau đó rút gọn thì ta được phương trình chính tắc của parabol có dạng:  $y^2 = 2px (p > 0)$

4. 3 đường conic: Bài tập vận dụng 

Bài 1: Một đường hầm xuyên qua núi có độ rộng 20 m, mặt cắt đứng của nó có hình dạng nửa elip và được biểu diễn trong hệ tọa độ với đơn vị tính là mét, như ở Hình 7. Giả sử tâm sai của elip là e = 0,5. 

a) Tính chiều cao của đường hầm.

b) Tính độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3 m. 

Các kết quả sẽ được làm tròn đến hàng phần mười và tính bằng mét. 

Hướng dẫn giải: 

Gọi chiều cao của đường hầm là b (m). Khi đó elip có bán trục lớn là a = 10(m) , bán trục bé là b (m). Elip có nửa tiêu cự là c = a.e = 10.0,5 = 5(m)

a. Chiều cao của đường hầm là:  $b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}\approx 8,7(m)$

b. Phương trình chính tắc của elip là:  $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{75}=1$. Một điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3m có hoành độ x = 7. Do đó độ cao của đường hầm tại điểm đó là y > 0 thỏa mãn: $\frac{7^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{75}=1$ $\Rightarrow y=\sqrt{75.\left ( 1-\frac{7^{2}}{100} \right )}\approx 6,2$

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3m là khoảng 6,2m. 

Bài 2: Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ với tiêu điểm $F_{2}(\sqrt{5};0)$. Tìm tọa độ điểm M $\in (E)$ sao cho độ dài $F_{2}M$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải: 

Có a² = 9 => a = 3.

Gọi tọa độ của M là (x;y)

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có $F_{2}M=3-\frac{\sqrt{5}}{3}x$

Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x $\leq $ 3

$\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\leq \frac{\sqrt{5}}{3}3\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\leq \sqrt{5}\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}x\geq -\sqrt{5}$

$\Rightarrow F_{2}M=3-\frac{\sqrt{5}}{3}x\geq 3-\sqrt{5}$

Đẳng thức xảy ra khi x = 3. 

Vậy độ dài F₂M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3;0) của elip.

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol biết một tiêu điểm là $F_{2}(\sqrt{2};0)$ và đường chuẩn ứng tiêu điểm đó là $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hướng dẫn giải: 

Ta có: $a^{2}=11; b^{2}=25$

$\Rightarrow a=\sqrt{11}; b =5; c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{11+25}=6$

Do đó hai tiêu điểm là: $F_{1}(-6;0)$ và $F_{2}(6;0)$

Ta có: $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}}\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}$

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_{1}(-6;0)$ là $\Delta _{1}:x=-\frac{11}{6}$ . Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_{2}(6;0)$  là $\Delta _{2}:x=\frac{11}{6}$ 

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5;0) và một đường tiệm cận là y = -3x. 

Hướng dẫn giải: 

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0; b>0)$ 

+ Hypebol có một đỉnh A₂(5;0) => a = 5

+ Hypebol có một đường tiệm cận là y = -3x $\Rightarrow \frac{b}{a}=3\Rightarrow b=3a=15$ 

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là: $\frac{x^{2}}{5^{2}}-\frac{y^{2}}{15^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{225}=1$ 

Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$. Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 12. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Hướng dẫn giải: 

Ta có a = 3; b = 4; $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$  và $e=\frac{5}{3}$ 

Các bán kính qua tiêu điểm của M là: 

$MF_{1}=\left | 3+\frac{5}{3}.12\right |=23$; $MF_{2}=\left | 3-\frac{5}{3}.12\right |=17$ 

Bài 6: Cho hypebol có phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25}=1$. Giả sử M là điểm thuộc hypebol có tung độ là $\sqrt{11}$. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu điểm M. 

Hướng dẫn giải: 

a² = 144; b² = 25

=> a = 12; b = 5; $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=13$ 

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

$MF_{1}=\left | a+\frac{c}{a}x\right |=\left | 12+\frac{13}{12}.15\right |=\frac{113}{4}$ 

$MF_{2}=\left | a+\frac{c}{a}x\right |=\left | 12-\frac{13}{12}.15\right |=\frac{17}{4}$ 

Bài 7: Cho parabol có phương trình y² = 8x. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

Hướng dẫn giải: 

Có 2p = 8 => p = 4 => Tọa độ tiêu điểm F(2;0) và phương tình đường chuẩn của parabol là x = -2.

Giả sử M có tọa độ là (x;4). Khi đó ta có 4² = 8x => x = 2. Vậy M(2;4). 

=> Bán kính qua tiêu của điểm M là $MF=x+\frac{p}{2}=2+\frac{4}{2}=4$ 

Qua bài viết, bạn đã hiểu rõ hơn về 3 đường conic trong chương trình toán 10. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức hữu ích để bạn củng cố kiến thức và ứng dụng chúng hiệu quả hơn. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức Toán THPT, trong đó có Toán lớp 10, các em truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!