Đạo hàm là gì? Khái niệm và các công thức cơ bản đến nâng cao

Tác giả Nhã Lân 11:38 30/09/2024 393,976 Tag Lớp 11

Đạo hàm là kiến thức vô cùng quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong các đề thi. Chính vì vậy, việc nắm chắc kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu

Đạo hàm là gì? Khái niệm và các công thức cơ bản đến nâng cao

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa đạo hàm là gì?

Theo định nghĩa về mặt Toán học, đạo hàm là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm bất kỳ gọi là điểm x₀. Chiều biến thiên lên hay xuống của hàm số chính là giá trị của đạo hàm. Đây chính là lý do vì sao đạo hàm lại có ý nghĩa rất lớn trong vật lý và những ứng dụng trong cả hình học và hình học không gian.

Như vậy ta có: Cho hàm số có dạng y = f(x) xác định trong khoảng (a;b) và có điểm x₀ $\small \in$ (a;b). Giới hạn hữu hạn (khi có nghĩa) của tỉ số khi x tới điểm x₀ được gọi là đạo hàm đã cho tại điểm x₀.

Ký hiệu đạo hàm: f’(x) hay y’(x).

Ta có công thức tính đạo hàm như sau:

$\small f'(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

Lưu ý:

Ta có đại lượng $\small \Delta x = x - x_{0}$ được gọi là số gia của đối số x tại x₀
Ta có đại lượng $\small \Delta y = f(x) - f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy ta có:
$\small y'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Cũng có định nghĩa khác về đạo hàm là sự biến thiên lên xuống của chính hàm số đó tại điểm biến thiên của hàm số. Còn trong Vật Lý thì đạo hàm chính là vận tốc tức thời, vận tốc tại thời điểm tính của một vật đang trong quá trình chuyển động hay có thể nói nó chính là sự biểu diễn về hình học trên đồ thị biểu diễn hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm dựa trên định nghĩa

Bước 1: Giả sử $\small \Delta x$ là gia số của x tại x₀. Lúc này ta tính: $\small \Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})$

Bước 2: Ta lập tỉ số giữa $\small \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Bước 3: Ta tính giới hạn của $\small \frac{\Delta y}{\Delta x}$ khi $\small \Delta x$ tiến tới 0: $\small \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Lưu ý: Nếu ta thay x₀ bởi x thì ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) với x $\small \in$ (a;b)

3. Mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm

Định lý: nếu hàm số có dạng y = f(x) có đạo hàm x₀ thì nó sẽ liên tục tại x₀.

Lưu ý:

Đảo lại định lý trên chưa chắc đã đúng, một hàm số liên tục tại x₀ chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó

Để chứng minh điều này ta xét hàm số y = f(x) = |x|

Tại điểm x0 = 0 ta có f(0) = 0 và $\small \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0} |x| = 0$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

Bên cạnh đó, ta có $\small \Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(0) = |\Delta x| \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

$\small \frac{\Delta y}{\Delta x} = \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1 khi \Delta x > 0\\ -1 khi \Delta x < 0 \end{matrix}\right.$

Do đó $\small \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1$ và $\small \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1 \Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ không tồn tại

Vậy hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x₀ = 0

4. Các công thức đạo hàm cần nhớ

Dưới đây là một số công thức đạo hàm các em học sinh cần nhớ trong quá trình học:

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ

Bảng công thức đạo hàm lượng giác

(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)
$\small (tan(x))' = (\frac{sin(x)}{cos(x)})' = \frac{cos^{2}x + sin^{2}x}{cos_{2}x} = \frac{1}{cos^{2}x} = sec^{2}x$
$\small (cot(x))' = (\frac{cos(x)}{sin(x)})' = \frac{- cos^{2}x - sin^{2}x}{sin_{2}x} = - (1 + cot^{2}x) = -csc^{2}x$
$\small (sec(x))' =(\frac{1}{cosx})' = \frac{sinx}{cos_{2}x} = \frac{1}{cosx}.\frac{sinx}{cosx} = sec(x)tan(x)$
$\small (csc(x))' =(\frac{1}{sinx})' = -\frac{cosx}{sin_{2}x} = -\frac{1}{sinx}.\frac{cosx}{sinx} = -csc(x)cot(x)$
$\small (arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\small (arccos(x))' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\small (arctan(x))' = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bảng công thức đạo hàm của biến số, hàm số và phân thức hữu tỉ

Tham khảo ngay bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia độc quyền của VUIHOC ngay

Bảng công thức đạo hàm và bảng nguyên hàm

Bảng công thức đạo hàm cao cấp

$\small (x^{m})^{n} = m(m - 1)(m - 2)(m - n + 1)x^{m-n}$ nếu $\small m \geq n$
$\small (x^{m})^{n} = 0$ nếu m < n
$\small (log_{a}x)^{n} = (-1)^{n - 1}\frac{(n - 1)!}{lna}\frac{1}{x^{n}}$
$\small (lnx)^{n} = (-1)^{n-1}.(n-1)!.x^{-n}$
$\small (e^{kx})^{n} = k^{n}e^{kx}$
$\small (a^{x})^{n} = (lna)^{n}a^{x}$
$\small (sinsinax)^{n} = a^{n}sin(ax + n\frac{\pi }{2})$
$\small (coscosax)^{n} = a^{n}cos(ax + n\frac{\pi }{2})$
$\small (\frac{1}{ax + b})^{n} = (-1)^{n}a^{n}n!\frac{1}{(ax+b)^{n+1}}$

5. Các dạng bài liên quan tới đạo hàm

Dạng bài tập 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đây là một trong những dạng toán đạo hàm rất cơ bản về cả mặt lý thuyết và trong phương pháp giải. Để giải được dạng bài này, các em học sinh sẽ dựa trên định nghĩa, áp dụng công thức cơ bản để tính toán ra đáp án. Cụ thể:

$\small f'(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$
$\small f'(x_{0}^{+}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f(x_{0}^{+})}{x - x_{0}}$
$\small f'(x_{0}^{-}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f(x_{0}^{-})}{x - x_{0}}$

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ $\small \Leftrightarrow$ $\small f'(_{0}^{+}) = f'(_{0}^{-})$

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm thì phải liên tục tại điểm đó

Dạng bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới đạo hàm

Ở dạng bài này các em học sinh sẽ được yêu cầu chứng minh hệ thức nào đó dựa trên những điều kiện có sẵn. Dạng bài tập này đòi hỏi các em phải tính toán, chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm sao cho chính xác và đưa ra kết quả.

Dạng bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi được cho trước tiếp điểm

Đây là dạng bài tập áp dụng các công thức đạo hàm phổ biến. Cụ thể với dạng bài này đề bài thường sẽ đưa ra một phương trình tiếp tuyến của hàm số của một đồ thị đường cong (C) có dạng: y= f(x), với một tiếp điểm (điểm tiếp xúc) M(x₀; y₀) cho sẵn, có dạng: y = y’(x₀)(x-x₀) + y₀. Sau đó chỉ cần thêm các dữ liệu đề bài đã cho để tìm đáp án cuối cùng.

Ví dụ thực hành: Cho một hàm số y= x³ + 3mx² + (m+1)x + 1 (1), với m là một tham số thực. Tìm các giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2).

Tập xác định của hàm số: D = R

Ta có: y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1

Với x₀ = -1 => y₀= 2m -1 và có f'(-1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; 2m – 1): y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Do đường tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1;2) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m = $\small \frac{5}{8}$

Vậy khi m = $\small \frac{5}{8}$ thì đồ thị có tiếp tuyến có hoành độn x = -1 và đi qua điểm A (1;2)

Dạng bài tập 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Hãy viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C ) : y = f(x), biết Δ có hệ số góc là k cho trước

Gọi điểm M(x₀ ; y₀) là tiếp điểm. Tính đạo hàm y’ từ đó tính được y'(x₀)

Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x₀) = k (i)

x₀=> y₀ = f(x₀) => Phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: y = k (x – x₀)+ y₀

Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x₀) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau:

- Phương trình tiếp tuyến $\small \Delta$ // d: y = ax + b => k = a

- Phương trình tiếp tuyến $\small \Delta$ $\small \perp$ d: y = ax + b => k = $\small - \frac{1}{a}$

- Phương trình tiếp tuyến $\small \Delta$ tạo với trục hoành $\small \alpha$ => |k| = tan $\small \alpha$

- Phương trình tiếp tuyến $\small \Delta$ tạo với đường thằng d: y = ax + b một góc $\small \alpha$ => $\small |\frac{k - a}{1+k.a}| = tan\alpha$

Dạng bài tập 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Đây là dạng cần phải có kết hợp bởi nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm khác nhau để có thể giải phương trình hay bất phương trình để tìm được kết quả chính xác.

Dạng bài tập 6: Dùng công thức đạo hàm nguyên hàm

Ở dạng bài tập này đòi hỏi các em vừa phải hiểu bản chất, vừa phải nắm chắc các công thức tính đạo hàm đã chia sẻ ở trên. Trong trường hợp gặp phải những hàm số phức tạp, các em học sinh có thể tiến hành rút gọn hàm số trước rồi mới đạo hàm đặc biệt là những bài tập liên quan tới đạo hàm của hàm lượng giác

Dạng bài tập 7: Tính đạo hàm cấp cao

Đối với các bài tập đạo hàm cấp cao thường thiên yêu cầu học sinh tính đạo hàm cấp 2, nên các em có thể áp dụng các công thức đạo hàm cấp cao trên hoặc sử dụng y(n) = (y(n-1))’.

Bên cạnh đó, để tính đạo hàm cấp n, các em sẽ phải tính lần lượt đạo hàm cấp 1, 2, 3… rồi từ đó suy luận ra công thức tính đạo hàm cấp n.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm ngay từ bây giờ

6. Phương pháp giải bài tập đạo hàm lớp 11 sao cho hiệu quả

Nắm chắc công thức và định nghĩa của đạo hàm

Trong chương trình Toán 11 và cụ thể trong phần Đại số, đạo hàm được xem là chuyên đề là vô cùng quan trọng mà các em học sinh cần phải chú ý. Bởi đây là dạng toán xuất hiện trong mọi kỳ thi khác nhau từ học kỳ, thi THPT Quốc gia hay ngay cả thi ĐGNL và thậm chí trong cả chương trình học Đại học.

Chính vì vậy, để học tốt đạo hàm trước hết các em học sinh phải nắm rõ về định nghĩa, các quy tắc và cả các công thức trong cách tính đạo hàm. Việc nắm rõ định nghĩa cần phải hiểu về bản chất chứ không chỉ dừng lại ở việc học vẹt, học thuộc một cách máy móc.

Thay vào đó, các em nên đọc hiểu công thức, phân tích chi tiết từng định nghĩa, định lý và kết hợp với việc chăm chỉ làm bài tập để có thể biết cách vận dụng cũng như tạo phản xạ khi gặp các dạng bài khác nhau về đạo hàm.

Chăm chỉ giải lần lượt bài tập từ cơ bản đến nâng cao về đạo hàm

Nếu chỉ đơn thuần ở việc hiểu công thức, quy tắc thôi là chưa đủ. Nếu các em học sinh không dành thời gian để vận dụng và thực hành vào những bài tập đạo hàm cụ thể thì cũng sẽ mang tính chất “học vẹt” và học máy móc. Chính việc luyện tập giải bài tập thường xuyên chính là phương pháp vừa giúp các em ghi nhớ công thức, vừa giúp các em có thể tự tìm tòi và có những phương pháp giải nhanh, tiết kiệm tối đa thời gian.

Hiện tại, trong đề thi có khá nhiều dạng bài tập khác nhau về đạo hàm từ cơ bản đến bài tập nâng cao. Đạo hàm từ định nghĩa, công thức, tiếp tuyến đồ thị, đạo hàm cao cấp, đạo hàm trị tuyệt đối, đạo hàm logarit… mỗi dạng đều có những bài toán với độ phức tạp khác nhau. Hãy lần lượt giải từ bài tập đơn giản đến nâng cao để từng bước cải thiện kỹ năng làm bài.

Luôn lưu ý về điều kiện của hàm số

Trong giải bài tập về đạo hàm luôn sẽ có những điều kiện cho trước để giải ấn số của bài toán đó. Mặc dù tìm điều kiện của hàm số là một bước đơn giản nhưng rất nhiều em học sinh bỏ qua dẫn tới sai về đáp án. Chính vì vậy hãy luôn nhớ tìm điều kiện của hàm số khi gặp bất cứ dạng bài tập nào về đạo hàm.

Luôn note lại những lỗi sai và tự rút kinh nghiệm trong quá trình làm bài tập

Với việc học Toán 11 nói chung cũng như về đạo hàm nói riêng thì các em có thể học từ sách giáo khoa, sách tham khảo, bạn bè, thầy cô giáo trên lớp… Tuy nhiên việc tự bản thân mình rút ra kinh nghiệm lại là phương pháp học nhớ lâu và tốt nhất.

Đặc biệt, các em học sinh không nên quá lệ thuộc vào thầy cô hay lời giải trong sách tham khảo. Trong quá trình làm bài tập đạo hàm thường xuyên, chắc chắn sẽ có những lúc các em giải sai hoặc không tìm ra phương án tìm ra đáp án, chính những thời điểm này sẽ giúp các em tự tìm ra những phần hổng trong kiến thức và rút ra bài học bổ ích cho bản thân.

Bên cạnh đó, trong toán đạo hàm cũng có rất nhiều những công thức tính nhanh, mẹo nhận biết dạng bài tập… Chính vì vậy, các em nên tham khảo những thủ thuật, phương pháp và cả kỹ năng bấm máy tính sao cho chính xác và tiết kiệm thời gian làm bài nhất.

Luôn kiên trì và chăm chỉ thực hành qua bài tập, đề thi

Việc các em hiểu rõ bản chất của đạo hàm, chỉ cần kết hợp với việc kiên trì, làm nhiều bài tập chắc chắn chuyên đề này không còn khó khăn. Chính vì vậy, hãy sắp xếp thời gian làm hết bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập cũng đã nắm được 80 – 90% kỹ năng giải bài tập đạo hàm rồi.

Ngoài ra, hãy học hỏi từ kiến thức mà thầy cô truyền đạt, từ bạn bè và bản thân đúc kết kinh nghiệm cũng sẽ giúp các em phát hiện những thiếu sót để khắc phục và phát huy tốt hơn.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về đạo hàm thuộc chương trình Toán lớp 11. Hy vọng rằng với bài viết trên sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức và những phương pháp xử lý mọi dạng bài tập liên quan tới đạo hàm và phục vụ cho quá trình ôn thi THPT môn Toán. Để tham khảo thêm các kiến thức của các môn khác, các em có thể truy cập vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Bài viết tham khảo thêm:

Giới hạn của hàm số

Hàm số liên tục

Quy tắc tính đạo hàm