Hiểu đúng và giải nhanh đạo hàm log x

Trước khi đi vào chi tiết lý thuyết và thực hành giải bài tập, các em theo dõi bảng sau để có một cái nhìn tổng quan nhất về dạng bài tập đạo hàm log x và độ khó của bài toán này trong các đề thi:

Chi tiết hơn về lý thuyết, các em có thể tham khảo ở file tổng hợp lý thuyết về đạo hàm logarit - đạo hàm log x VUIHOC đã biên soạn chi tiết dưới đây:

Tải xuống file lý thuyết đạo hàm logarit - đạo hàm log x 

1. Tổng quan lý thuyết về đạo hàm

1.1. Khái niệm về đạo hàm

Ta có định nghĩa về đạo hàm như sau:

Đạo hàm của $f(x)$ (ký hiệu là $f’(x)$) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm $f(x)$ tại một điểm $x$ xác định nào đó. Giá trị của đạo hàm tại $x_0$ chính là giá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến với hàm số $f(x)$ tại $x_0$ (xem phần độ dốc phía dưới).

• Nếu tại điểm $x_0$ giá trị hàm số đang tăng thì $f'(x_0)>0$, đang giảm thì $f'(x_0)<0$, còn nếu $f'(x_0)=0$ thì hàm số đang tại chóp ở $x_0$ và chuẩn bị đổi chiều.

• Nếu tại điểm $x_0$ mà $\left | f'(x_0) \right |$ lớn thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) nhanh, còn nếu $\left | f'(x_0) \right |$ nhỏ thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) chậm.

• Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là $y'(x_0)$ hoặc $f'(x_0)$.

Hoặc

1.2. Một số quy tắc đạo hàm sử dụng trong đạo hàm log x

VUIHOC tổng hợp cho các em 3 quy tắc đạo hàm liên quan trực tiếp đến công thức và cách biến đổi khi giải bài tập đạo hàm log x:

• Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:

  • Định lý 1: Hàm số $y=x^n$ $(n\in \mathbb{N}, n>1)$ có đạo hàm với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $(x^n)'=n.x^{n-1}$

  • Định lý 2: Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm với mọi $x$ dương và $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:

  • Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có:

• Hệ quả 1: Nếu $k$ là một hằng số thì $(ku)’=ku’$

• Hệ quả 2: $(\frac{1}{v})=-\frac{v'}{v^2} (v=v(x)\neq 0)$

• Đạo hàm của hàm hợp: (định lý 4) Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u'_x$ và hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y'_u$ thì hàm hợp $y=f(g(x))$ có đạo hàm (theo $x$) là $y'_x=y'_u.u'_x$. Ta có bảng sau:

2. Lý thuyết về đạo hàm log x

2.1. Khái niệm hàm log x và đồ thị

Trước khi tìm hiểu đạo hàm log x, ta cần hiểu thế nào là log x và hàm log x. 

Trong chương trình THPT khi học về logarit, ta được giới thiệu về log x như sau:

Có hai loại logarit là logarit tự nhiên và logarit thập phân. Logarit cơ số 10 còn được gọi là logarit thập phân, được ký hiệu là $log_10b$ , viết tắt là log b hoặc lg b.

Từ đó, ta có thể suy ra công thức của hàm log x có dạng: y=log x , tập xác định là $(0;+\infty )$.

Đồ thị hàm log x như sau:

Để thuận lợi hơn trong quá trình biến đổi trong bài tập đạo hàm log x, các em sử dụng các công thức dưới đây:

2.2. Đạo hàm log x

2.3 Một số bài tập ứng dụng đạo hàm log x

Đạo hàm log x là dạng bài tập cơ bản nhưng tần suất xuất hiện không nhiều như đạo hàm logarit bình thường. Tuy nhiên, chúng ta không nên chủ quan bỏ qua vì đôi khi những câu đạo hàm log x lại là câu hỏi ăn điểm trong các bài thi. 

Ta xét 2 ví dụ sau để hiểu hơn về cách biến đổi và xử lý các bài tập đạo hàm log x:

Ví dụ 1: Khi viết $2^{2018}$ trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số, biết $log2\approx 0,3010$

A. 606

B. 608

C. 607

D. 609

Số chữ số là $\left [ log2^{2018} \right ]+1=\left [ 2018log2 \right ]+1=\left [ 607,418 \right ]+1=607+1=608$ chữ số

Như vậy, ta chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Khi viết $2000^{2018}$ trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số, biết $log2\approx 0,3010$?

A. 6661

B. 6663

C. 6662

D. 6660

$\left [ log2000^{2018} \right ]+1=\left [ 2018log(2\times 10^3) \right ]+1=\left [ 2018(log2+3) \right ]+1$

$\approx \left [ 2018(0,3010+3) \right ]+1=\left [ 6661,418 \right ]+1=6661+1=6662$

Chọn đáp án C.

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo hơn về bài tập đạo hàm log x, VUIHOC đã soạn riêng cho em một bộ đầy đủ bài tập luyện tập dạng kiến thức này. Trong file này có bao gồm cả giải chi tiết để các em có thể so sánh đáp án hoặc tham khảo cách giải, các em nhớ tải về để luyện tập nhé!

Tải xuống file bài tập đạo hàm log x kèm giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập giải chi tiết về đạo hàm log x. Hy vọng rằng các bài tập dạng toán này sẽ không làm khó được các em.

>> Xem thêm: Đạo hàm của hàm số lượng giác