Đồ thị của hàm số mũ - tổng hợp lý thuyết và bài tập

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, VUIHOC tổng quát cho các em về mức độ và những điểm cần lưu ý khi học về đồ thị của hàm số mũ tại bảng sau:

Chi tiết hơn, các em có thể xem thêm tại file tổng hợp lý thuyết chung về hàm số mũ và đồ thị hàm số mũ dưới đây. Ngoài ra, trong file này có bao gồm các công thức đạo hàm các hàm số giúp các em tiện hơn trong việc đạo hàm vẽ đồ thị, đặc biệt là hàm số mũ:

Tải xuống file lý thuyết về hàm số mũ - đồ thị của hàm số mũ siêu đầy đủ

1. Tổng quan lý thuyết chung về luỹ thừa và hàm số mũ

Tại sao lại có lý thuyết của luỹ thừa trong phần tìm hiểu về đồ thị của hàm số mũ? VUIHOC xin giải đáp rằng, các tính chất và công thức của hàm số mũ được kế thừa của luỹ thừa. Vậy nên, muốn nắm vững về hàm số mũ và làm được các bài tập về đồ thị của hàm số mũ, trước tiên ta cần phải chắc phần kiến thức về luỹ thừa.

1.1. Định nghĩa và tính chất của luỹ thừa

Lũy thừa (từ Hán Việt nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán được viết dưới dạng an, bao gồm hai số, cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, được đọc là "a lũy thừa n". Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số:

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó:

• $a^n$ được gọi là "lũy thừa bậc $n$ của $a$", "$a$ lũy thừa $n$", hoặc hầu hết ngắn gọn là "$a$ mũ $n$"

• $a^2$ còn được gọi là "$a$ bình phương" hoặc "bình phương của $a$"

• $a^3$ còn được gọi là "$a$ lập phương" hoặc "lập phương của $a$"

Ta có $a^1=a$, và, với mọi số nguyên dương $m$ và $n$, ta có $a^m.a^n=a^{m+n}$. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, $a^0$ được định nghĩa là 1, $a^{−n}$ (với n là số nguyên dương và a không phải là 0) được định nghĩa là 1an. Đặc  biệt, $a^{-1}$ bằng $\frac{1}{a}$, nghịch đảo của $a$.

Về luỹ thừa, ta cần ghi nhớ những tính chất sau đây để ứng dụng làm bài tập vẽ đồ thị của hàm số mũ:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

• Tính chất về bất đẳng thức: 

  • So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$

• So sánh cùng số mũ:

Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$

Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

1.2. Lý thuyết về hàm số mũ

1.2.1. Định nghĩa

Để tìm được điều kiện hàm số mũ, ta không được bỏ qua định nghĩa về hàm số mũ trước tiên. Theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

1.2.2. Đạo hàm

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

1.2.3. Tính chất của hàm số mũ

Để vẽ đồ thị hàm số mũ, ta dựa rất nhiều vào tính chất để xác định chiều và khái quát được hình dáng của đồ thị. Dựa vào các tính chất, ta có thể phân biệt được các dạng đồ thị hàm số - nếu nắm vững tính chất thì sẽ có lợi thế rất lớn đối với các bài đồ thị của hàm số dạng trắc nghiệm.

Đối với hàm số mũ, ta xét hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$:

2. Đồ thị của hàm số mũ

2.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Khi khảo sát đồ thị hàm số mũ, các em lưu ý giá trị của cơ số $a$ vì nó sẽ quyết định hàm số mũ đó đồng biến hay nghịch biến, từ đó suy ra chiều đồ thị của hàm số mũ. 

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Đồ thị:

Đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(\frac{1}{2})^{x}$, $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

2.2. Bài tập ví dụ minh hoạ về đồ thị của hàm số mũ

Để thành thạo các bước giải cũng như hiểu rõ về cách khảo sát và vẽ đồ thị thế nào cho đúng, chúng ta cùng xét các ví dụ minh hoạ sau đây:

Ví dụ. Hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

• Đạo hàm: $y'=(3x^2+2)5^{x^3+2x}ln5>0,\forall x$ suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

• Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ (trục $Ox$) làm tiệm cận ngang.

• Đồ thị:

3. Bài tập áp dụng

Để giải nhanh dạng bài tập đồ thị của hàm số mũ mà không mắc sai lầm, các em cần luyện tập với nhiều dạng bài tập hơn. VUIHOC gửi tặng các em bộ bài tập đồ thị của hàm số mũ siêu đầy đủ và có giải chi tiết. Các em nhớ tải về và cùng ôn tập với VUIHOC nhé!

Tải xuống file bài tập đồ thị của hàm số mũ kèm giải chi tiết

Các em vừa cùng VUIHOC ôn tập lại toàn bộ lý thuyết về hàm số mũ và các bài tập đi sâu vào dạng toán đồ thị của hàm số mũ. Hy vọng rằng bài viết sẽ giúp các em rất nhiều trong quá trình học.