Tất tần tật về đồ thị hàm số luỹ thừa

Tác giả Minh Châu 13:56 30/11/2023 23,044 Tag Lớp 12

Làm sao để vẽ đồ thị hàm số lũy thừa nhanh mà vẫn chính xác? Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giải đáp tất tần tật về đồ thị hàm luỹ thừa kèm theo hướng dẫn cách vẽ và bài tập ứng dụng cực dễ hiểu. Cùng Vuihoc tìm hiểu nhé!

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Trước khi đi chi tiết vào bài viết, các em cùng VUIHOC tổng quát lại kiến thức về đồ thị hàm số luỹ thừa bằng bảng sau đây để có cái nhìn chung nhất nhé!

Tổng quan về đồ thị hàm số luỹ thừa

Để giúp các em dễ dàng hơn trong việc ôn tập và tổng hợp kiến thức, VUIHOC gửi tặng các em tài liệu tổng hợp toàn bộ lý thuyết về hàm số luỹ thừa và đồ thị. Nhớ tải về để học nhé!

>>>Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về đồ thị hàm số luỹ thừa<<<

1. Ôn tập lý thuyết về hàm số lũy thừa

1.1. Công thức tổng quát của đồ thị hàm số lũy thừa

Để vẽ được đồ thị hàm số luỹ thừa, trước hết ta cần phải biết hàm số luỹ thừa có dạng như thế nào. Theo chương trình Đại số lớp 12, các em đã được học định nghĩa về hàm số luỹ thừa như sau:

Hàm số luỹ thừa có công thức tổng quát là: $\large y=x^{\alpha }$ (trong đó $\large \alpha$ là hằng số, $\large \alpha \in \mathbb{R}$ )

Tập xác định của hàm số $\large y=x^{\alpha }$ là:

$\large \mathbb{R}$ nếu $\large \alpha$ nguyên dương
$\large \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$ nếu $\large \alpha$ nguyên âm hoặc $\large \alpha$ = 0
$\large \(0;+\infty)$ nếu $\large \alpha$ không nguyên

Lưu ý trường hợp đặc biệt sau khi tiến hành tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa:

Ta có đẳng thức: $\large \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ chỉ xảy ra trong trường hợp $x>0$. Do đó hàm số $\large y=x^{\frac{1}{n}}$ không đồng nhất với hàm số $\large y=\sqrt[n]{x} (n\in \mathbb{N}^{*})$ .Ta có thể hiểu đơn giản là, ta có đẳng thức $\large x=x^{\frac{1}{2}}$ nhưng hàm số $\large y=\sqrt{x}$ có tập xác định $\large D=[0;+\infty )$ còn hàm số $\large x=x^{\frac{1}{2}}$ có $\large D=(0;+\infty )$

1.2. Đạo hàm

Đạo hàm là bước rất quan trọng khi vẽ đồ thị hàm luỹ thừa. Hiểu đơn giản, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích.

Về tổng quát, xét hàm số $\large y=x^{\alpha }$ :

$\large y=x^{\alpha } (\alpha \in \mathbb{R})$ thì $\large y'=\alpha .x^{\alpha -1}$ với $x>0$

1.3. Tính chất của hàm số lũy thừa

Trong các bài tập về đồ thị hàm luỹ thừa, tính chất của hàm số luỹ thừa đóng vai trò quyết định. Xét hàm số $\large y=x^{\alpha }$ trên khoảng $\large \(0;+\infty)$ :

Đồ thị luôn đi qua điểm $(1;1)$
$\large \alpha$ > 0: Hàm số đồng biến; $\large \alpha$ < 0: Hàm số nghịch biến
Khi $\large \alpha$ > 0, đồ thị hàm số luỹ thừa không có tiệm cận; Khi $\large \alpha$ < 0, đồ thị hàm luỹ thừa có tiệm cận ngang là $y=0$, tiệm cận đứng $x=0$.

Dễ dàng nắm trọn kiến thức về lũy thừa ngay với bộ bí kíp ôn thi đạt 9+ Toán THPT Quốc Gia

2. Đồ thị hàm số luỹ thừa

2.1. Các bước vẽ đồ thị hàm luỹ thừa

Đồ thị hàm luỹ thừa là một phần trong bước khảo sát hàm số. Vì vậy, để vẽ được đồ thị hàm số luỹ thừa, ta thực hiện các bước khảo sát hàm số như sau:

Xét đồ thị hàm số $\large y=x^{\alpha }$ trên khoảng $\large \(0;+\infty)$ với $\large \mathbb{R}$ và $\large \alpha$ > 0

Bước 1: Tìm tập xác định

Tập xác định của hàm số $\large y=x^{\alpha }$ là $\large \(0;+\infty)$

Bước 2:

- Sự biến thiên

$\large y=x^{\alpha } (\alpha \in \mathbb{R})$ suy ra $\large y'=\alpha .x^{\alpha -1}$ với mọi $x>0$

- Giới hạn đặc biệt:

$\large \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha }=0; \lim_{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }=+\infty$

- Tiệm cận: Không có

Bước 3: Bảng biến thiên

Bảng biến thiên của đồ thị hàm số luỹ thừa

Bước 4: Đồ thị hàm số luỹ thừa

đồ thị hàm số luỹ thừa

Lưu ý: Ta thấy đồ thị hàm số luỹ thừa $\large y=x^{\alpha }$ luôn đi qua điểm $(1;1)$

2.2. Bài tập ví dụ về đồ thị hàm luỹ thừa

Vẽ đồ thị của hàm số $\large y=^{\frac{4}{3}}$

Giải:

Tập xác định: $\large D=(0;+\infty )$

$\large y'=\frac{4}{3}.x^{\frac{1}{3}}>0, \forall x\in 0$

Hàm số đồng biến trên $\large \(0;+\infty)$ :

$\large \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha }=0; \lim_{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }=+\infty$

Bảng biến thiên và đồ thị:

Bảng biến thiên ví dụ về đồ thị hàm số luỹ thừa

Đồ thị ví dụ về đồ thị hàm số luỹ thừa

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo hơn các bước vẽ đồ thị hàm số luỹ thừa, các thầy cô VUIHOC gửi tặng em file bài tập ôn luyện chuyên đề đồ thị hàm số luỹ thừa. Đây là những bài tập được thầy cô tổng hợp và chọn lọc để sát với các kì thi nhất. Các em nhớ tải về để ôn tập nhé!

>>>Tải ngay bài tập đồ thị hàm số luỹ thừa cực đầy đủ và chi tiết<<<

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về đồ thị hàm số luỹ thừa mà Vuihoc đã tổng hợp giúp các em dễ dàng giải các bài toán này. Đây là một trong những phần rất quan trọng thường xuyên xuất hiện trong quá trình học Toán 12 cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Điều kiện của hàm số luỹ thừa

Kiến thức về Logarit