Bật mí bí kíp giải bất phương trình mũ khác cơ số nhanh nhất

Trước khi bật mí bí kíp giải bất phương trình mũ khác cơ số, chúng ta cùng xem bảng dưới đây để có cái nhìn tổng quan nhất về bất phương trình mũ nhé!

1. Ôn lại lý thuyết về bất phương trình mũ

1.1. Công thức bất phương trình mũ cơ bản

Như đã được học trong chương trình lớp 12, bất phương trình mũ có công thức chung dạng:

$ a^{x}>  b$ ( hoặc $ a^{x} < b;  $a^{x}\geqslant b$; $ a^{x}\leqslant b$), trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a>0, a ≠1.$

Ta minh họa bằng đồ thị sau

Với a > 1 ta có đồ thị sau

Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau

1.2. Định nghĩa về bất phương trình mũ khác cơ số

Bất phương trình mũ khác cơ số là những bất phương trình có cơ số ở hai vế không giống nhau. Điều này gây khó khăn trong việc giải toán. Để giải bất phương trình mũ khác cơ số, thông thường chúng ta cần phải sử dụng các công thức để biến đổi cơ số sao cho giống nhau, hoặc có nhân tử chung.

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải của mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán

2. Các cách giải phương trình mũ khác cơ số nhanh nhất

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ở phương pháp này, ta giải bất phương trình mũ khác cơ số bằng cách áp dụng các tính chất số mũ kết hợp với các phép biến đổi để đưa về cùng cơ số. Ta theo dõi ví dụ sau để hiểu hơn về cách làm này:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $2^{x^{2}-5x+6} > 2^{0}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2}-5x+6} > 2^{0}\Leftrightarrow x^{2}-5x+6 > 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x < 2 &  & \\ x > 3 &  & \end{matrix}\right.$

Tập nghiệm là $(-\infty; 2)\cup (3;+\infty )$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình mũ sau $(\frac{2}{5})^{4x}\leqslant (\frac{5}{2})^{2-x}$

Giải:

Ta có thể biến đổi theo 1 trong 2 cách sau (thực tế thì cùng phương pháp)

Cách 1: Bất phương trình được biến đổi về dạng

$(\frac{2}{5})^{4x}\leqslant (\frac{5}{2})^{2-x}\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^{4x}\leqslant  (\frac{5}{2})^{2-x}$
$\Leftrightarrow 4x\geqslant x-2\Leftrightarrow 3x\geqslant -2\Leftrightarrow x\geqslant \frac{-2}{3}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[-\frac{2}{3}; +\infty )$

Cách 2: Bất phương trình được biến đổi về dạng 

$(\frac{2}{5})^{4x}\leqslant (\frac{5}{2})^{2-x}\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^{4x}\leqslant  (\frac{5}{2})^{x-2}$

$\Leftrightarrow -4x\leqslant 2-x\Leftrightarrow 3x\geqslant -2\Leftrightarrow x\geqslant \frac{-2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[-\frac{2}{3}; +\infty )$

Ta theo dõi kỹ hơn vào ví dụ 2. Ở ví dụ này, cả hai cách đều được sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để giải bất phương trình mũ khác cơ số. Nhưng cả hai cách đều có điểm mấu chốt ở cách lựa chọn cơ số, Vuihoc tạm giải thích như sau:

• Ở cách 1, việc đưa về cơ số a<1 nên dấu của bất phương trình phải đổi chiều. Các bạn lưu ý lỗi sai này rất hay mắc phải trong quá trình biến đổi đưa về cùng cơ số.

• Ở cách 2, cơ số a>1 được sử dụng nên dấu của bất phương trình được giữ nguyên. Các bạn có thể lựa chọn phương án an toàn này để không nhầm lẫn trong quá trình biến đi.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm ngay từ bây giờ

2.2.  Phương pháp đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ khác cơ số

Phương pháp này sử dụng cho các bất phương trình mũ không ở dạng cơ bản, khá phức tạp, thường xuất hiện ở những bài điểm 8+ như các hệ bất phương trình mũ, bất phương trình mũ có số mũ là biểu thức bậc 2, 3,...

Để áp dụng giải bất phương trình mũ khác cơ số không ở dạng thường gặp, ta cùng xem xét ví dụ sau để hiểu hơn về phương pháp giải này:

Ví dụ 1:

a) $\frac{2^{1-x}-2^{x}+1}{2^{x}-1}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{\frac{2}{2^{x}}-2^{x}+1}{2^{x}-1}\leqslant 0$

Đặt $t= 2^{x}; t>0$ bất phương trình tương đương

$\frac{\frac{2}{t}-t+1}{t-1}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{t^{2}+t+2}{t(t-1)}\leqslant 0\Leftrightarrow 0<t<1 ; t\geqslant 2$
$\Leftrightarrow 0<2^{x}<1$ hoặc $2^{x}\geqslant 2$
$\Leftrightarrow 0<2^{x}<1$ hoặc $2^{x}\geqslant 2$
$\Leftrightarrow x<0$ hoặc $x\geqslant 1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-\infty; 0)\cup [1, +\infty)$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $9^{x-1}-36.3^{x-3}+3\leqslant 0$ (1)
Giải:

Biến đổi phương trình (1) ta được

$(1)\Leftrightarrow (3^{x-1})^{2}-4.3^{x-1}+3\leqslant 0$

Đặt $t=3^{x-1} (t>0 )$ bất phương trình (2) trở thành $t^{2}\leqslant 4t+3\leqslant 0$ (3)
(3) $\Leftrightarrow 1\leqslant t\leqslant 3$

Suy ra: $\Leftrightarrow 0\leqslant x-1\Leftrightarrow 1\leqslant x\leqslant 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=[1;2]$

2.3. Phương pháp đánh giá - sử dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình mũ khác cơ số

Phương pháp giải bất phương trình mũ khác cơ số này áp dụng tính đơn điệu của hàm số như sau:

Cho hàm số $y=f(t)$ xác định và liên tục trên tập xác định D:

- Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>  f(v)\Leftrightarrow u>v$

- Nếu hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>  f(v)\Leftrightarrow u<v$

Ta xét ví dụ:

$3^{\sqrt{x+4}}+ 2^{\sqrt{2x+4}}> 13$
Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x+4\geqslant 0 &  & \\ 2x+4> 0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geqslant -2$

Bất phương trình tương đương: $3^{\sqrt{x+4}}+ 2^{\sqrt{2x+4}}-13 > 0$

Xét hàm số: $f(x)=3^{\sqrt{x+4}}+ 2^{\sqrt{2x+4}}-13\geqslant -2$

Ta có: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.3^{\sqrt{x+4}}In3+\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.4^{x+2}In4> 0, \forall x\geqslant -2$

Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $[2; +\infty)$

+ Nếu $x > 0$ thì $f(x) > f(0) \Leftrightarrow 3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}} -13 > 0$ nên $x>0$ là nghiệm

+ Nếu $-2\leqslant x\leqslant 0$ thì $ f(x)\leqslant f(0) \Leftrightarrow 3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}} -13\leqslant  0$ nên $-2\leqslant x\leqslant 0$ không có nghiệm.

Vậy $x > 0$ là nghiệm của bất phương trình.

3. Bài tập áp dụng

Trong phần kiến thức bất phương trình mũ, thầy Thành Đức Trung đã có bài giảng hướng dẫn các tips giải nhanh bất phương trình mũ khác cơ số. Các em cùng học với thầy tại video dưới đây để không bỏ lỡ những cách làm hay ho từ thầy nhé!

Hy vọng rằng sau bài viết này, các bạn học sinh sẽ có cho mình những cách giải bất phương trình mũ khác cơ số nhanh và hiệu quả đối với từng dạng bài khác nhau cũng như giúp các em trong quá trình ôn thi Toán THPT Quốc Gia. Chúc các em đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới.