Chi tiết các cách giải bất phương trình mũ và logarit cực dễ hiểu

Trước khi tiến hành giải bất phương trình mũ và logarit trong chương trình Toán 12, các em cùng VUIHOC điểm qua những kiến thức tổng quan về bất phương trình mũ và logarit theo bảng tổng hợp dưới đây nhé!

Tổng quan lý thuyết và sơ đồ tư duy về bất phương trình mũ và logarit đã được VUIHOC tổng hợp tại file này, các bạn có thể tải tại đây:

>>>Tải file Tổng quan lý thuyêt và sơ đồ tư duy <<<

1. Các cách giải bất phương trình mũ

Có 4 phương pháp sau đây là cách giải bất phương trình mũ và logarit phổ biến và nhanh nhất:

1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình $a^{f(x)} > a^{g(x)}$

Bước 1: Nếu a>1 thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)> g(x)$ (cùng chiều khi a>1)

Bước 2: Nếu 0<a<1 thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)< g(x)$ (ngược chiều khi 0<a<1)

Bước 3: Nếu $a$ chứa ẩn thì $a^{f(x)} > a^{g(x)}\Leftrightarrow (a-1)[f(x)-g(x)]> 0$ (hoặc xét 2 trường hợp của cơ số)

Ví dụ minh hoạ: Giải bất phương trình $5^{x^{2}+x}\leq 25^{x+1}$

Giải: $5^{x^{2}+x}\leq 25^{x+1} \Leftrightarrow x^{x}+x\leq 2x+2\Leftrightarrow x^{2}-x-2\leq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 2$

1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Tùy vào từng dạng mà ta sẽ có những cách giải bất phương trình mũ khác nhau. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

Dạng 1: $m.a^{2f(x)}+ n.a^{2f(x)}+ p > 0$
Bước 1: Ta đặt: $t=a^{f(x)} (t >0)$

Bước 2: Đưa về dạng phương trình ẩn $t$, ta được phương trình: $m.t^{2}+n.t+p>0$

Bước 3: Tương tự, đối với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+n.a^{2f(x)}+pa^{f(x)}+q>0$, ta cũng đặt $t= a^{f(x)} (t>0))$ rồi đưa về phương trình bậc 3 và giải như bình thường.

Ví dụ minh hoạ: 

Dạng 2: $m.a^{2f(x)}+n(ab)^{f(x)}+p.b^{2f(x)}> 0$

Bước 1: Đầu tiên, chia 2 vế của bất phương trình cho $b^{2f(x)}$ ta được phương trình:

$m.a^{2f(x)}+n(ab)^{f(x)}+pb^{2f(x)}> 0\Leftrightarrow m(\frac{a}{b})^{2f(x)}+n(\frac{a}{b})^{f(x)}+p > 0$

Bước 2: Đặt $t= (\frac{a}{b})^{2f(x)} (t>0)\Leftrightarrow m.t^{2}+nt+p> 0$

Bước 3: Tương tự, với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+n(a^{2}b)^{f(x)}+p (ab)^{f(x)}+ (ab^{2})^{f(x)}+q.b^{3f(x)}  > 0$

Ta cũng chia cả 2 vế của bất phương trình cho $b^{3f(x)}$, sau đó đặt $t=(\frac{a}{b})^{f(x)} (t > 0)$ rồi đưa về phương trình bậc $3m.t^{2}+n.t^{2}+pt+q > 0$ và áp dụng cách giải bất phương trình mũ như bình thường.

Ví dụ minh hoạ: Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình $4.3^{log(100x^{2})}+9.4^{log(100x^{2})}< 13.6^{1+logx}$

Lời giải: 

$PT\Leftrightarrow4.3^{2.log(10x)}+9.2^{2.log(10x)}<13.6^{log(10x)}$
$\Leftrightarrow4.(\frac{3}{2})^{2log(10x)}-13.(\frac{3}{2})^{log(10x)}+9<0$

Đặt $t=(\frac{3}{2})^{log(10x)}>0$ thì phương trình trở thành:

$4t^{2}-13t+9<0\Leftrightarrow 1<t<\frac{9}{4}$

Do đó: $1<(\frac{3}{2})^{log(10x)}<\frac{9}{4}\Leftrightarrow 1<log(10x)<2\Leftrightarrow 1<x<10$

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.

Dạng 3: $ma^{2f(x)}+n.a^{f(x)+g(x)}+p.a^{2g(x)} > 0$

Phân tích bất phương trình ta có: 

$m.a^{2f(x)}+n.a^{f(x)+g(x)}+p.a^{2g(x)}>0m.a^{2[f(x)-g(x)]}+n.a^{[f(x)-g(x)]}+p>0$

Đặt $t=a^{f(x)-g(x)}\Rightarrow mt^{2}+nt+p > 0$

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập thi THPT Quốc Gia với bí kíp độc quyền của VUIHOC

1.3. Phương pháp logarit hóa

Xét bất phương trình dạng: $a^{f(x)}> b^{g(x)} (a\neq 1, b> 0)$

- Lấy logarit 2 vế với cơ số $a > 1$, ta được bất phương trình: $log_{a}a^{f(x)}> log_{a}b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)log_{a}b$

- Lấy logarit 2 vế với cơ số $0 < a < 1$, ta được bất phương trình: $log_{a}a^{f(x)}<log_{a}b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)<g(x)log_{a}b$

Ví dụ minh hoạ:

1.4. Phương pháp xét hàm số

Cho hàm số $y=f(t)$ xác định và liên tục trên tập xác định $D$:

- Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u>v$

- Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u<v$

Ví dụ minh hoạ:

2. Các cách giải bất phương trình logarit cơ bản

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình $log_{a}f(x)> log_{a}g(x) (a>0, a\neq 1)$

• Nếu $a > 0$ thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)>g(x)$ (cùng chiều a > 1$)
• Nếu $0<a<1$ thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)<g(x)$ (ngược chiều khi $0<a<1$)

Ví dụ minh hoạ:

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với các phương trình có dạng $Q[log_{a}f]\geqslant 0$ hoặc, ta có thể áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ $t=log_{a}fx$

Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (biểu thức có nghĩa khi $f(x)>0$, chúng ta cần phải chú ý nhưng điều này khi giải bất phương trình mũ và logarit:

• Đặc điểm của bất phương trình logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không).
• Chiều biến thiên của hàm số

Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đại số quen thuộc, đặc biệt là các bất phương trình bậc hai hoặc hệ bất phương trình.

Ví dụ minh hoạ:

2.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số $y=f(t)$ xác định và liên tục trên miền $D$

• Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u>v$
• Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u<v$

Ví dụ minh hoạ:

3. Cách giải bất phương trình logarit chứa tham số

3.1. Các dạng bài tập giải bất phương trình logarit chứa tham số thường gặp

Các dạng bài tập thường gặp về bất phương trình logarit chứa tham số bao gồm:

Dạng 1: Tìm tham số m để $f(x;m)=0$có nghiệm (hoặc có knghiệm) trên tập xác định D.

Cách giải bất phương trình mũ và logarit dạng này, chúng ta cần thực hiện theo các bước: 

Bước 1: Cô lập tham số m, tách m ra khỏi biến số $x$ rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x)=P(m).$

Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập $D$.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số $P(m)$ sao cho đường thẳng $y=P(m)$ nằm ngang, cắt đồ thị hàm số $y=f(x).$

Dạng 2: Tìm tham số m để $f(x;m)\geqslant 0$ hoặc $f(x,m)\leqslant 0$ (hoặc có nghiệm) trên tập xác định D

Các bước để giải bài toán dạng này bao gồm:

Bước 1: Cô lập tham số m, tách m ra khỏi biến số x rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x)\geqslant P(m)$ hoặc $f(x)\leqslant P(m)$

Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập $D$.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số $P(m)$ sao cho:

$f(x)\leqslant P(m)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow P(m)\geqslant max_{x\in D}f(x)$
$f(x)\geqslant P(m)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow P(m)\leqslant min_{x\in D}f(x)$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình đạt 9+ thi tốt nghiệp THPT môn Toán 

3.2. Các cách giải bất phương trình logarit chứa tham số

• Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số

Đưa bất phương trình về dạng $f(u) > f(v)$ với $f(t)$ là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của bất phương trình. Khi đó $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v$

Ví dụ minh hoạ:

• Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $t= log_{a}u(x)$ tùy theo điều kiện của x mà ta sẽ tìm được tập xác định của biến $t.$

Ví dụ minh hoạ:

Giải:

• Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2

Xét hàm số $f(x)=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} và x_{2}$

- Ta có $\Delta =b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2}= -\frac{b}{a}&  & \\ x_{1}x^{2}=\frac{c}{a}&  & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ x_{1}+ x_{2}> 0& & \\ x_{1}x^{2}> 0& & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x) >0 có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$

- Bất phương trình f(x)>0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

- Bất phương trình f(x)<0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ minh hoạ:

Giải:

4. Tuyển tập bài tập và cách giải giải bất phương trình mũ và Logarit áp dụng

Dưới đây là bộ tài liệu về các bài tập giải bất phương trình mũ và logarit mà VUIHOC đã tổng hợp. Các bạn nhớ tải về để ôn tập nhé:

Tải file bài tập giải bất phương trình mũ và logarit cực hay

Để vận dụng tốt và hiểu sâu hơn về cách giải bất phương trình mũ và logarit, mời các bạn cùng VUIHOC ôn tập hai kiến thức này với thầy Thành Đức Trung. Trong video còn có các bài tập áp dụng cho từng dạng kèm hướng dẫn giải chi tiết nữa, xem ngay nhé!

- Video hướng dẫn giải bài tập Bất phương trình mũ:

- Video hướng dẫn giải bài tập Bất phương trình logarit:

Trên đây là tổng hợp các cách giải bất phương trình mũ và logarit có thể dùng cho tất cả các dạng bài tập liên quan đến bất phương trình mũ và bất phương trình logarit. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các bạn tích lũy thêm kiến thức quan trọng cần thiết phục vụ cho quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới.