Lý thuyết và bài tập chi tiết hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10

1. Định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10

1.1. Hàm số là gì?

Trước khi tìm hiểu về hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10, học sinh cần nắm được định nghĩa chung về hàm số. Nếu có 1 đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng biến đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn tìm được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì khi đó y được gọi là hàm số của x, và x gọi là biến số.

Định nghĩa hàm số được khái quát hoá như sau: Cho D là tập con khác tập rỗng thuộc R. Hàm số f xác định trên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi số $x\in D$ với một và chỉ một số thực y gọi là giá trị của hàm số f tại x, ký hiệu là y=f(x).

Tập D được gọi là tập xác định của hàm số y (tập này rất quan trọng khi ta xét hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10), x là biến số. Ta có công thức như sau:

1.2. Hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 là gì?

Hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 được định nghĩa như sau.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a,b)\subset \mathbb{R}$:

• Hàm số f đồng biến (tăng) trên khoảng $(a,b)$ khi và chỉ khi $x_1,x_2\in (a,b)$ thoả mãn $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$

• Hàm số f nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a,b)$ khi và chỉ khi $x_1,x_2\in (a,b)$ thì $f(x_1)>f(x_2)$

• Hàm số f không đổi (hàm hằng) trên khoảng $(a,b)$ nếu $f(x)=const$ với mọi $x\in (a;b)$

Thông thường, để xét hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 trên khoảng (a,b) thì ta xét tỉ số f(x2)-f(x1)x2-x1 với $x_1\neq x_2\in (a,b)$.

Lưu ý:

• Khi hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì đồ thị đi lên.

• Khi hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó thì đồ thị đi xuống.

• Hàm só bậc nhất y=ax+b luôn luôn đồng biến hoặc nghịch biến.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Các xét hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10

2.1. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 để xét. Khi đó, ta sử dụng giả thuyết $x_1,x_2\in K$ bất kỳ với $x_1<x_2$, đánh giá trực tiếp và so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

Phương pháp 2: Xét hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên. Ta có công thức sau đây:

Với $x_1, x_2\in K$ bất kỳ và $x_1\neq x_2$

• Nếu T>0 thì hàm số đồng biến trên tập K.

• Nếu T<0 thì hàm số nghịch biến trên tập K.

2.2. Ví dụ minh hoạ

Để rõ hơn cách áp dụng từng phương pháp giải hàm số đồng biến nghịh biến lớp 10 nêu trên, các em học sinh cùng VUIHOC xét các ví dụ minh hoạ sau đây.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y=\sqrt{1-2x}$ trên khoảng $(-\infty ;\frac{1}{2}]$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương pháp 1 sử dụng định nghĩa, ta có:

Kết luận hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;\frac{1}{2}]$

Ví dụ 2: Xét hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10 sau: $y=f(x)=x+3$

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tỉ số dấu ở phương pháp 2, ta có:

• Tập xác định $D=\mathbb{R}$

• Với mọi $x_1,x_2\in R$ và $x_1\neq x_2$ ta có:

Kết luận, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3: Xét biến thiên của hàm số $y=f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$ trên khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương pháp 2 xét tỉ số biến thiên, ta có:

Kết luận, với $x_1,x_2\in (-;2)$ hoặc $x_1,x_2\in (2;+)$ thì T<0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$

3. Bài tập hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10

Để luyện tập thành thạo các dạng bài tập về hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10, các em học sinh cùng VUIHOC luyện tập bộ bài tập tự luận (có kèm hướng dẫn giải chi tiết) sau đây.

Bài 1: Xét biến thiên của các hàm số sau đây trên khoảng $(1;+\infty )$

1. $y=\frac{3}{x-1}$

2. $y=\frac{x+1}{x}$

Hướng dẫn giải:

1. Với $x_1, x_2\in (1;+)$; $x_1\neq x_2$ ta có:

Kết luận hàm số $y=\frac{3}{x-1}$ nghịch biến trên $(1;+\infty )$.

2. Với $x_1,x_2\in (1;+)$, $x_1\neq x_2$ ta có:

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10 $y=\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Kết luận, hàm số $y=\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}$ đồng biến trên khoảng $[1; +\infty )$.

Bài 3: Xét tính đơn điệu của hàm số lớp 10 $y=f(x)=x^2-4$ trên khoảng $(-\infty ;0)$.

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng $(2;4)$ và trên đoạn $[-4;-2]$.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đi lên

⇒ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2; 4)$

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số $y = f(x)$ đi xuống

⇒Hàm số $y = f(x) $nghịch biến trên đoạn $[-4; -2]$

Bài 5: Xác định m để các hàm số sau:

1. $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định

2. $y=-x^3+mx^2-3x+4$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải:

Bài viết trên đã cung cấp cho các em toàn bộ lý thuyết và các phương pháp giải bài toán liên quan đến hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10. Để đọc và học nhiều hơn các kiến thức Toán thú vị, truy cập ngay trường học online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây với thầy cô VUIHOC các em nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết