Bí kíp giải nhanh mọi hệ phương trình mũ và logarit

Để hiểu hơn về hệ phương trình mũ và logarit, ta cùng theo dõi bảng sau đây để nhận biết mức độ khó và vùng kiến thức cần ôn nhé!

Để thuận tiện hơn cho việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập thật nhanh, các em tải xuống file tổng hợp lý thuyết hệ phương trình mũ và logarit dưới đây nhé!

Tải xuống file tổng hợp toàn bộ lý thuyết hệ phương trình mũ và logarit

1. Ôn tập tổng hợp lý thuyết về phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

1.1. Lý thuyết về phương trình mũ

Về định nghĩa:

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với a,b cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với  $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ để giải hệ phương trình mũ và logarit:

Để giải phương trình mũ, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải hệ phương trình mũ và logarit. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

1.2. Ôn tập lý thuyết về phương trình logarit giải hệ phương trình mũ và logarit

Về định nghĩa:

Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là R. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi hệ phương trình mũ và logarit mà các em cần ghi nhớ:

 quy tắc logarit của 1 tích:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(ab)=log(a)+log(b)$. 

– Điều kiện: $a, b$ đều là số dương

– Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số $a=10$ là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số $e$ là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_{\alpha }(ab)=log_{\alpha)a+log_{\alpha)b$

– Điều kiện với mọi số α và  $0<a\neq 1,b>0$

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

1.3. Hệ phương trình mũ và logarit là gì?

Hiểu đơn giản, hệ phương trình là các phương trình cùng xảy ra với các điều kiện thỏa mãn của biến. Hệ phương trình bậc hai là hệ gồm các phương trình bậc hai có dạng $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$. Tương tự, hệ phương trình bậc ba là hệ gồm các phương trình bậc 3.

Tuy nhiên, phổ biến nhất ta vẫn thường gặp hệ phương trình mũ và logarit dạng bậc nhất 2 ẩn, có công thức như sau:

Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số.

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $(x_0;y_0)$ thì  $(x_0;y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Các phương pháp áp dụng giải hệ phương trình mũ và logarit

2.1. Sử dụng phương pháp thế giải hệ phương trình mũ và logarit

Đối với phương pháp này, ta biến đổi bằng cách dùng 1 phương trình thế vào phương trình còn lại của hệ phương trình mũ và logarit để ra được 1 phương trình cơ bản. Sau đó, ta chỉ việc áp dụng các phép biến đổi thông thường cơ bản để giải.

Cụ thể hơn, các em cùng VUIHOC xét các ví dụ minh hoạ sau đây:

2.2. Phương pháp biến đổi tương đương

Khi sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ phương trình mũ và logarit, các em thực hiện theo những bước sau đây:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức.
• Bước 2:Dùng các biến đổi để nhận được được phương trình một ẩn.
• Bước 3: Giải phương trình một ẩn nhận được từ hệ.
• Bước 4: Kết luận.

Cụ thể hơn, ta cùng xét ví dụ sau đây:

2.3. Giải hệ phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ cũng là cách giải hệ phương trình mũ và logarit rất thông dụng. Các bước giải chi tiết như sau:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
• Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,…)
• Bước 3: Giải hệ.
• Bước 4: Kết luận.

Ví dụ minh hoạ sau đây sẽ giúp các em hình dung rõ hơn về dạng bài này nhé:

2.4. Phương pháp hàm số

Áp dụng hàm số để giải hệ phương trình mũ và logarit là cách giải được ưa chuộng vì không cần biến đổi quá nhiều mà vẫn có thể ra được kết quả. Tuy nhiên, để làm được phương pháp này các em cần phải thực hiện lần lượt các bước sau đây:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
• Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng $f(x)=f(y)$.
• Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu $f(x)$ là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ hệ phương trình $f(x)=f(y)$, ta có: $x=y$.
• Bước 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ.

Ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

3. Bài tập luyện tập giải hệ phương trình mũ và logarit

Để giải hệ phương trình mũ và logarit thành thạo, các em cần luyện tập nhiều các bài tập nhiều dạng khác nhau để tăng khả năng nhận điện đề bài. Sau đây, VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp bài tập luyện tập giải hệ phương trình mũ và logarit được chọn lọc từ các đề luyện thi uy tín của trường VUIHOC. Các em đừng quên tải về luyện tập hằng ngày nhé!

Tải xuống file bài tập hệ phương trình mũ và logarit có đáp án chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức và bài tập quan trọng về hệ phương trình mũ và logarit. Chúc các em học tập tốt !