Khái niệm về thể tích khối đa diện - Toán hình 12

Tác giả Minh Châu 14:08 30/11/2023 10,413 Tag Lớp 12

Để tính được thể tích khối đa diện, các em học sinh phải ghi nhớ các công thức tính thể tích của các khối đa diện quen thuộc như khối lăng trụ, khối chóp, khối nón... Cùng tham khảo bài viết để nắm vững kiến thức về công thức, các dạng bài tập vận dụng liên quan đến phần kiến thức này nhé!

Khái niệm về thể tích khối đa diện - Toán hình 12

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

A. Phần lý thuyết về thể tích khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là những hình có cấu tạo từ một số hữu hạn các đa giác phẳng và thỏa mãn 2 tính chất sau:

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung duy nhất.
Mỗi cạnh của đa giác nào đó bất kì cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Các hình đa diện thường xuyên gặp bao gồm có là hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật hay hình chóp cụt...

2. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện được xác định là không gian miền trong của mỗi hình đa diện tạo thành. Nghĩa là, mỗi hình đa diện sẽ có 1 khối đa diện tương ứng.

3. Khái niệm thể tích khối đa diện

Một khối đa diện (H) có thể tích là một số dương tương ứng $V_{(H)}$ sẽ thỏa mãn các tính chất như sau:

- Nếu khối đa diện (H) là khối lập phương có cạnh bằng một thì $V_{(H)} =1$

- Nếu khối đa diện (H) chia thành 2 khối đa diện $H_{1}$ và $H_{2}$ bằng nhau thì: $V_{(H1)} = V_{(H2)}$

- Nếu khối đa diện (H) chia thành 2 khối đa diện $H_{1}$ và $H_{2}$ thì thể tích của khối đa diện (H) là: $V_{(H)} =V_{(H1)} + V_{(H2)}$

4. Công thức tính thể tích khối đa diện thường gặp

4.1 Thể tích khối hộp chữ nhật

Một khối hộp chữ nhật có kích thước 3 chiều lần lượt là a, b và c ( a,b,c >0). Khi đó thể tích của khối hộp chữ nhật sẽ là: V = a.b.c

4.2 Thể tích khối chóp

- Công thức tính thể tích khối chóp:

$\mathbf{}V=\frac{1}{3}S_{day}.h$

Áp dụng vào khối chóp cụ thể như sau: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH$

- Công thức tính tỷ lệ thể tích của khối chóp tam giác: $V_{S.A'B'C'} = \frac{SA'.SB'.SC'}{SA.SB.SC}.V_{S.ABC}$

Lưu ý 1: Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A và A' trùng nhau. Khi đó công thức có dạng:

$\frac{V_{SAB'C'}}{V_{SABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}$

Lưu ý 2: Trường hợp khối chóp có đáy là hình khối khác

- Nếu hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ lệ thể tích chính là tỉ số diện tích 2 đáy tương ứng

- Nếu hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ lệ thể tích chính là tỉ số đường cao tương tứng của hai hình chóp.

4.3 Thể tích khối lăng trụ

- Công thức tính thể tích khối lăng trụ: $V=S_{day}.h$

Áp dụng vào khối lăng trụ cụ thể: $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.C'H$

5. Những kiến thức cần ghi nhớ

- Nếu ảnh của khối đa diện (H) là (H') trong phép dời hình thì thể tích của hai khối đa diện đó bằng nhau

- Nếu ảnh của khối đa diện (H) là (H') trong phép vị tự có tỉ số k thì thể tích của hai khối đa diện đó như sau: $V_{(H')} = \left | k \right |^{3}.V_{(H)}$

Bộ sách giúp các em ẵm trọn điểm 9+ ba môn Toán Lý Hóa trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Nhanh tay đặt hàng để nhận ưu đãi từ vuihoc nhé!

B. Các dạng bài tập về tính thể tích khối đa diện

1. Dạng bài tính thể tích khối chóp

Phương pháp giải các dạng bài tính thể tích khối chóp:

a. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp. Như vậy, với dạng bài này, chúng ta không cần phải vẽ chiều cao của khối chóp. Chỉ cần tính toán các số liệu và áp dụng công thức tính thể tích khối chóp là giải được bài toán.

Ví dụ: Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC = $a\sqrt{2}$ , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải đáp:

Tam giác ABC vuông cân ở B với cạnh AC = $a\sqrt{2}$ , ta có:

$AB = BC=\frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$S_{\Delta ABC} =\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a^{2}$

Vì $SA\perp (ABC)$ nên SA chính là đường cao của khối chóp, ta có:

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{6}$

b. Thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy

Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a,

AB = a. Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết $SA=a\sqrt{5}$

Ta có:

$AH=\frac{AD}{2}=a$

$SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{5a^{2}-a^{2}}=2a$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.2a.2a.a=\frac{4a^{3}}{3}$

c. Dạng bài tính tỉ số thể tích hai khối chóp

Ví dụ: Hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC

Lời giải:

Do ba điểm A', B', C' lần lượt đi qua trung điểm của ba cạnh SA, SB và SC nên ta có tỉ số như sau:

$\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC} =\frac{1}{2}$

=> Tỉ số của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC là:

$\frac{V_{SA'B'C'}}{V_{SABC}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=\frac{1}{8$

>> Mời bạn xem chi tiết: 12 công thức tính thể tích khối chóp

Khóa học PAS THPT có gì hot khiến lượng đăng ký tăng đột biến vào đầu năm học mới? Đăng ký sớm để được các thầy cô lên lộ trình ôn thi sớm nhất nhé!

2. Dạng bài tính thể tích khối lăng trụ

Dạng bài tính thể tích khối lăng trụ các em học sinh có thể gặp các bài như tính thể tích của khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều, lăng trụ xiên.

a. Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

-Khối lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên của khối lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. Chiều cao của khối lăng trụ đứng là cạnh bên.

- Khối lăng trụ đều là hình lăng trụ có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và chiều cao là cạnh bên.

Ví dụ: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 5a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Lời giải:

Do mặt bên ADD'A' là hình chữ nhật nên ta có:

$S_{AA'D'} = \frac{1}{2}S_{AA'D'D}$

$V_{A'.ACD'}=V_{C.AA'D'}=\frac{1}{2}V_{C.AA'D'D}$

$=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'}=\frac{1}{6}5a.2a.2a =\frac{10a^{3}}{3}$

b. Tính thể tích khối lăng trụ xiên

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ∆ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB, O là tâm của tam giác đều ABC.

Do A’ cách đều các điểm A, B, C nên A'O ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên:

$S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Xét ∆A’AO vuông tại O có:

$A'O = \sqrt{A'A^{2}-AO^{2}} =\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$V_{ABC.A'B'C'} = A'O.S_{ABC}= \frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$

Mấu chốt để giải được các bài toán tính thể tích khối đa diện là các em học sinh phải ghi nhớ được công thức tính thể tích của các khối đa diện cơ bản như khối chóp, khối lăng trụ...

>>>Đăng ký khóa học PAS THPT để được các thầy cô lên lộ trình học và ôn thi Toán ngay từ đầu năm học mới! <<<

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã hiểu rõ và ghi nhớ được các công thức tính thể tích khối đa diện và có thể áp dụng linh hoạt trong các dạng bài tập khác nhau. Để học thêm nhiều kiến thức toán 12 cũng như các môn học khác, các em hãy truy cập trang web vuihoc.vn nhé!

>> Mời các em tham khảo thêm: