Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị toán 12 

1.1 Khoảng biến thiên

- Khoảng biến thiên, kí hiệu là R của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mãu số liệu. 

- Chú ý: Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau: 

Nhóm	[u1;u2)	[u2;u3)	...	[uk;uk+1)
Tần số	n1	n2	...	nk

Nếu n₁ và n_k cùng khác 0 thì: R = u_k+1 - u₁

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. 

- Ý nghĩa của khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: 

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. 

+ Khoảng biến thiên R = u_k+1 - u₁ chưa phản ánh được đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các số liệu. Hơn nữa, giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác. 

1.2 Khoảng tứ phân vị 

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\large \Delta _{Q}$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q₃ và tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là: $\large \Delta _{Q}=Q_{3}-Q_{1}$

- Tứ phân vị thứ i, kí hiệu là Q_i với i = 1,2,3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau: 

$\large Q_{i}=u_{m}+\frac{\frac{in}{4}-C}{n_{m}}(u_{m+1}-u_{m})$

Trong đó:

• n = n₁ + n₂ + ... + n_k là cỡ mẫu; 
• [u_m; u_m+1) là nhóm chứa tứ phân vị thứ i; 
• n_m là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ i;
• C = n₁ + n₂ + ... + n_m-1

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được xác định dựa trên tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm.

- Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: 

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu (tập hợp gồm 50% số liệu nằm chính giữa mẫu số liệu).

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

+ Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5$\large \Delta _{Q}$ hoặc x < Q₁ - 1,5$\large \Delta _{Q}$. 

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. 

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp nhất với bản thân

2. Bài tập về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị toán 12

2.1 Bài tập về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị toán 12 kết nối tri thức

Bài 3.1 trang 78 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

Số thẻ	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100)	[100; 110)
Tần số	2	5	7	5	0	0	1

 - Mẫu số liệu gốc

Khoảng biến thiên: R₁ = 101 – 42 = 59.

Sắp xếp mẫu số liệu gốc theo thứ tự tăng dần:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Vì n = 20 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nhóm 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63.

$\large \rightarrow Q_{1}=\frac{55+57}{2}=56$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nhóm 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

$\large \rightarrow Q_{3}=\frac{73+75}{2}=74$

Do đó D_1Q = 74 – 56 = 18.

- Mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên là: R₂ = 110 – 40 = 70.

Cỡ mẫu là n = 20.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\large\frac{x_{5}+x_{6}}{2}$

Mà x₅; x₆ thuộc nhóm [50; 60) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 60). Ta có: 

$\large Q_{1}=50+\frac{\frac{20}{4}-2}{5}.(60-50)=56$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: $\large\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$

Mà x₁₅; x₁₆ thuộc nhóm [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80). Ta có: 

$\large Q_{3}=70+\frac{\frac{20.3}{4}-14}{5}.(80-70)=72$

Do đó D_2Q = 72 – 56 = 16.

Giá trị chính xác là R₁ và D_1Q; giá trị xấp xỉ là R₂ và D_2Q.

Bài 3.2 trang 79 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Thu nhập	[5; 8)	[8; 11)	[11; 14)	[14; 17)	[17; 20)
Giá trị đại diện	6,5	9,5	12,5	15,5	18,5
Số người của nhà máy A	20	35	45	35	20
Số người của nhà máy B	17	23	30	23	17

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

$\large \frac{6,5.20+9,5.35+12,5.45+15,5.35+18,5.20}{(20+35+45+35+20)}=12,5$ (triệu đồng) 

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

$\large \frac{6,5.17+9,5.23+12,5.30+15,5.23+18,5.17}{(17+23+30+23+17)}=12,5$ (triệu đồng)

- Nhà máy A: 

Cỡ mẫu n = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅₅ là mức thu nhập của 155 công nhân lao động của nhà máy A và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₃₉ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có: $\large Q_{1}=8+\frac{\frac{155}{4}-20}{35}.(11-8)\approx 9,6$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₁₁₇ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có: $\large Q_{3}=14+\frac{\frac{155.3}{4}-100}{35}.(17-14)\approx 15,4$

Khoảng tứ phân vị: R_AQ = 15,4 – 9,6 = 5,8.

- Nhà máy B

Cỡ mẫu n = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110.

Gọi y₁; y₂; …; y₁₁₀ là mức thu nhập của 110 công nhân lao động của nhà máy B và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là y₂₈ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có: $\large Q_{1}=8+\frac{\frac{110}{4}-17}{23}.(11-8)\approx 9,4$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là y₈₃ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có: $\large Q_{3}=14+\frac{\frac{3.110}{4}-70}{23}.(17-14)\approx 15,6$

Khoảng tứ phân vị .

Vì R_BQ > R_AQ nên mức thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn.

Bài 3.3 trang 79 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

- Lớp 12A

+) Khoảng biến thiên: R₁ = 175 – 145 = 30.

+) Cỡ mẫu n = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43.

Gọi x₁; x₂; …; x₄₃ là chiều cao của 43 học sinh lớp 12A được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₁₁ thuộc nhóm [155; 160) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [155; 160).

Ta có: $\large Q_{1}=155+\frac{\frac{43}{4}-1}{15}.(160-155) = 158,25$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₃₃ thuộc nhóm [165; 170) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [165; 170).

Ta có: $\large Q_{3}=165+\frac{\frac{43.3}{4}-28}{10}.(170-165) = 167,125$

Khoảng tứ phân vị là D_1Q = 167,125 – 158,25 = 8,875.

- Lớp 12B

+) Khoảng biến thiên: R₂ = 175 – 155 = 20.

+) Cỡ mẫu n = 17 + 10 + 9 + 6 = 42.

Gọi y₁; y₂; …; y₄₂ là chiều cao của 42 học sinh lớp 12B và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là y₁₁ thuộc nhóm [155; 160) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [155; 160).

Ta có: $\large Q_{1}=155+\frac{\frac{42}{4}-0}{17}.(160-155)\approx 158,1$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là y₃₂ thuộc nhóm [165; 170) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [165; 170).

Ta có: $\large Q_{2}=165+\frac{\frac{42.3}{4}-27}{9}.(170-165)= 167,5$

Khoảng tứ phân vị là: R_2Q = 167,5 – 158,1 = 9,4.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này, ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

2.2 Bài tập về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị toán 12 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 73 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

147  187,1  200,7  242,2  251,4  258,4  288,5

298,1  305  332  341,4  388,6  400  413,5

413,5  421  432,2  475  520  522,9

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:

R = 522,9 – 147 = 375,9 (mm).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

$\large Q_{1}=\frac{251,4+258,4}{2}=254,9$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

341,4; 388,6 ; 400; 413,5; 413,5 ; 421; 432,2; 475; 520; 522,9.

$\large Q_{3}=\frac{413,5+421}{2}=417,25$

147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4 ; 288,5; 298,1; 305 ; 332.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 417,25 – 254,9 = 162,35.

b) Nhóm đầu tiên là [140; 240), ta chọn 3 nhóm còn lại là

[240; 340), [340; 440), [440; 540).

Từ bảng thống kê ban đầu, ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Lượng mưa (mm)	[140; 240)	[240; 340)	[340; 440)	[440; 540)
Số tháng	3	7	7	3

c) Cỡ mẫu n = 20.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

R' = 540 – 140 = 400 (mm).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [140; 240), x₄; …; x₁₀ ∈ [240; 340), x₁₁; …; x₁₇ ∈ [340; 440), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [440; 540).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ∈ [240; 340).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q'_{1}=240+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}(340-240)=\frac{1880}{7}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là: $\large \frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})$ ∈ [340; 440).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q'_{3}=340+\frac{\frac{3.20}{4}-(3+7)}{7}(440-340)=\frac{2880}{7}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large \Delta '_{Q}=Q'_{3}-Q'_{1}=\frac{2880}{7}-\frac{1880}{7}=\frac{1000}{7}\approx 142,86$

Ta thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn mẫu số liệu đã cho; khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn mẫu số liệu đã cho.

Đăng ký ngay combo sổ tay kiến thức các môn học để nhận ưu đãi cực hấp dẫn từ vuihoc nhé!

Bài 2 trang 74 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Từ biểu đồ đã cho, ta có có bảng thống kê sau:

Số lượt đặt bàn	[1; 6)	[6; 11)	[11; 16)	[16; 21)	[21; 26)
Số ngày	14	30	25	18	5

Cỡ mẫu n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92.

Gọi x₁; x₂; …; x₉₂ là mẫu số liệu gốc về số lượt khách đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của một nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₁₄ ∈ [1; 6), x₁₅; …; x₄₄ ∈ [6; 11), x_45­; …; x₆₉ ∈ [11; 16), x₇₀; …; x₈₇ ∈ [16; 21), x₈₈; …; x₉₂ ∈ [21; 26).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12(x23+x24)12x23+x24 ∈ [6; 11).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q_{1}=6+\frac{\frac{92}{4}-14}{30}(11-6)=\frac{15}{2}=7,5$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là: $\large \frac{1}{2}(x_{69}+x_{70})$

Mà x₆₉ ∈ [11; 16) và x₇₀ ∈ [16; 21)

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q₃ = 16.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 16 – 7,5 = 8,5.

Bài 3 trang 74 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 9,4 – 8,4 = 1 (m).

Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₅ ∈ [8,4; 8,6), x₆; …; x₁₇ ∈ [8,6; 8,8), x_18­; …; x₄₂ ∈ [8,8; 9,0), x₄₃; …; x₈₆ ∈ [9,0; 9,2), x₈₇; …; x₁₀₀ ∈ [9,2; 9,4).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12(x25+x26)12x25+x26 ∈ [8,8; 9,0).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q_{1}=8,8+\frac{\frac{100}{4}-(5+12)}{25}(9,0-8,8)=8,864$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\large \frac{1}{2}(x_{75}+x_{76})$ ∈ [9,0; 9,2).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q_{3}=9,0+\frac{\frac{3.100}{4}-(5+12+25)}{44}(9,2-9,0)=9,15$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,15 – 8,864 = 0,286.

b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m thuộc nhóm [8,4; 8,6).

Vì Q₁ – 1,5∆_Q = 8,864 – 1,5 ∙ 0,286 = 8,435 > 8,4 nên chiều cao của cây keo cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Bài 4 trang 74 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a)

• Nam giới:

Cỡ mẫu n = 4 + 7 + 4 + 6 + 15 + 12 + 2 = 50.

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [50; 55), x₅; …; x₁₁ ∈ [55; 60), x_12­; …; x₁₅ ∈ [60; 65), x₁₆; …; x₂₁ ∈ [65; 70), x₂₂; …; x₃₆ ∈ [70; 75), x₃₇; …; x₄₈ ∈ [75; 80), x₄₉; x₅₀ ∈ [80; 85).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [60; 65).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q_{1}=60+\frac{\frac{50}{4}-(4+7)}{4}(65-60)=61,875$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [75; 80).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q_{3}=75+\frac{\frac{3.50}{4}-(4+7+4+6+15)}{12}(80-75)=75,625$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 75,625 – 61,875 = 13,75.

• Nữ giới:

Cỡ mẫu n' = 3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14 + 13 + 1 = 50.

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [50; 55), y₄; …; y₇ ∈ [55; 60), y_8­; …; y₁₂ ∈ [60; 65), y₁₃; …; x₁₅ ∈ [65; 70), y₁₆; …; y₂₂ ∈ [70; 75), y₂₃; …; y₃₆ ∈ [75; 80), y₃₇; …; y₄₉ ∈ [80; 85), y₅₀ ∈ [85; 90).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [65; 70).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q'_{1}=65+\frac{\frac{50}{4}-(3+4+5)}{3}(70-65)=\frac{395}{6}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [80; 85).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q'_{3}=80+\frac{\frac{3.50}{4}-(3+4+5+3+17+4)}{13}(85-80)=\frac{2095}{26}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

$\large \Delta '_{Q}=Q'_{3}-Q'_{1}=\frac{2095}{26}-\frac{395}{6}=\frac{575}{39}\approx 14,74$

b) Ta có ∆'_Q ≈ 14,74 > ∆_Q = 13,75 nên trong câu lạc bộ dưỡng sinh, nam giới có tuổi đồng đều hơn.

>> Tổng hợp kiến thức toán 12 chương trình mới đầy đủ, chi tiết

2.3 Bài tập về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị toán 12 cánh diều 

Bài 1 trang 88 sgk toán 12/1 Cánh diều

a) Đáp án đúng là: A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 8, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 40, đầu mút phải của nhóm 5 là a₆ = 90.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₆ – a₁ = 90 – 40 = 50 (nghìn đồng).

b) Đáp án đúng là: C

Từ Bảng 8 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là n = 60.

- Ta có: $\large \frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$ mà 9 < 15 < 28. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm [60; 70) có s = 60; h = 10; n₃ = 19 và nhóm 2 là nhóm [50; 60) có cf₂ = 9.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

$\large Q_{1}=60+\left ( \frac{15-9}{19} \right ).10=\frac{1200}{19}$ (nghìn đồng) 

- Ta có: $\large \frac{3n}{4}=\frac{3.60}{4}=45$ mà 28 < 45 < 51. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm [70; 80) có t = 70; l = 10; n₄ = 23 và nhóm 3 là nhóm [60; 70) có cf₃ = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

$\large Q_{3}=70+\left ( \frac{45-28}{23} \right ).10=\frac{1780}{23}$ (nghìn đồng) 

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\large \Delta Q=Q_{3}-Q_{1}=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}\approx 14,23$ (nghìn đồng). 

Bài 2 trang 88 sgk toán 12/1 Cánh diều

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 9, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 10, đầu mút phải của nhóm 6 là a₇ = 40.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₇ – a₁ = 40 – 10 = 30 (triệu đồng).

b) Từ Bảng 9 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là n = 60.

- Ta có: $\large \frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 1 là nhóm [10; 15) có s = 10; h = 5; n₁ = 15.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

$\large Q_{1}=10+\left ( \frac{15}{15} \right ).5=15$ (triệu đồng) 

- Ta có: $\large \frac{3n}{4}=\frac{3.60}{4}=45$ mà 43 < 45 < 53. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm [25; 30) có t = 25; l = 5; n₄ = 10 và nhóm 3 là nhóm [20; 25) có cf₃ = 43.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

$\large Q_{3}=25+\left ( \frac{45-43}{10} \right ).5=26$ (triệu đồng) 

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 26 – 15 = 11 (triệu đồng).

Bài 3 trang 88 sgk toán 12/1 Cánh diều

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 10, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 20, đầu mút phải của nhóm 6 là a₇ = 80.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₇ – a₁ = 80 – 20 = 60.

b) Từ Bảng 10 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là n = 100.

- Ta có: $\large \frac{n}{4}=\frac{100}{4}=25$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 25. Xét nhóm 1 là nhóm [20; 30) có s = 20; h = 10; n₁ = 25.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: 

$\large Q_{1}=20+\left ( \frac{25}{25} \right ).10=30$

- Ta có: $\large \frac{3n}{4}=\frac{3.100}{4}=75$ mà 65 < 75 < 80. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 75. Xét nhóm 4 là nhóm [50; 60) có t = 50; l = 10; n₄ = 15 và nhóm 3 là nhóm [40; 50) có cf₃ = 65.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

$\large Q_{3}=50+\left ( \frac{75-65}{15} \right ).10=\frac{170}{3}$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\large \Delta Q=Q_{3}-Q_{1}=\frac{170}{3}-30\approx 26,67$

 

 

Trên đây là toàn bộ bài học Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chương trình toán 12. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh nắm vững cách tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị để giải quyết các dạng bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12
• Lý thuyết và bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12