Lý thuyết hàm số lũy thừa chi tiết - Toán 12

Tác giả Minh Châu 14:06 30/11/2023 5,374 Tag Lớp 12

Nắm chắc lý thuyết hàm số lũy thừa sẽ giúp các em học sinh nhanh chóng giải quyết được các dạng bài tập như khảo sát hàm số trong chương trình toán 12. Cùng xem chi tiết bài viết và ôn tập kiến thức về hàm số lũy thừa nhé!

Lý thuyết hàm số lũy thừa chi tiết - Toán 12

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết hàm số lũy thừa

1.1 Định nghĩa

- Cho hàm số $\large y=x^{a}$ trong đó a $\large \in$ R => được gọi là hàm số lũy thừa.

- Tập xác định của hàm số lũy thừa:

+ Nếu a nguyên dương: D = R

+ Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0: D = R \ {0}

+ Nếu a không phải là số nguyên: D = (0; + $\large \infty$ )

1.2 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

a. Đạo hàm với số mũ tổng quát

- Hàm số $\large y=x^{a}$ có đạo hàm với mọi $\large x\in$ (0; + $\large \infty$ ) và $\large y^{,} = \left ( x^{a} \right )^{'} = a.x^{a-1}$

- Nếu hàm số $\large u = u\left ( x \right )$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số $\large y = u^{a}\left ( x \right )$ cũng sẽ có đạo hàm trên J là: $\large y^{,} = \left [ u^{a}\left ( x \right ) \right ]^{-1} = ax^{a-1}.\left ( x \right ).u^{,}\left ( x \right )$

b. Đạo hàm với số mũ nguyên dương

- Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương thì hàm số $\large y=x^{a}$ sẽ có tập xác định D = R và có đạo hàm trên toàn bộ trục số. Khi đó, công thức đạo hàm sẽ được mở rộng như sau:

Với mọi $\large x \in \mathbb{R}, \left ( x^{a} \right )^{^{'}} = a.x^{a-1}$
Với mọi $\large x\in J, \left [ u^{a}\left ( x \right ) \right ]^{_{'}}=a.u^{_{a-1}}\left ( x \right )u^{'}\left ( x \right )$

- Lưu ý: Trường hợp $\large u=u\left ( x \right )$ sẽ có đạo hàm trong khoảng J

>>> Đăng ký ngay để được các thầy cô hướng dẫn ôn tập các kiến thức về hàm số lũy thừa và giải đề nhanh chóng, dễ dàng<<<

c. Đạo hàm với số mũ nguyên âm

- Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm thì hàm số $\large y=x^{a}$ sẽ có tập xác định D = R \ {0}, có đạo hàm tại mọi $\large x \left ( x\neq 0 \right )$ . Khi đó, công thức đạo hàm với số mũ nguyên âm sẽ mở rộng như sau:

Với mọi $\large x\neq 0, \left ( x^{a} \right )^{^{}}= a.x_{a-1}$
Với mọi $\large x\in J, \left [ u^{a}\left ( x \right ) \right ]^{_{'}}=a.u^{a-1}.\left ( x \right ).u^{_{'}}\left ( x \right )$
Lưu ý: Nếu $\large u=u\left ( x \right ) \neq 0$ sẽ có đạo hàm trong khoảng J

d. Đạo hàm của căn thức

- Công thức tính đạo hàm căn thức $\large y=\sqrt[n]{x}$ :

$\large y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ và $\large \left ( x^{^{\frac{1}{n}}} \right )' =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$

$\large = > \left ( \sqrt[n]{x} \right )'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

$\large = > \left ( \sqrt[n]{u\left ( x \right )'} \right )=\frac{u'\left ( x \right )}{n\sqrt[n]{u^{n-1}\left ( x \right )}}$

1.3 Đồ thị hàm số

- Khảo sát hàm số $\large y=x^{a}$ $\large \left ( a\neq 0 \right )$ trên tập (0; + $\large \infty$ )

- Đồ thị hàm số lũy thừa luôn đi qua tọa độ (1;1)

Lưu ý: Đồ thị hàm số trên chỉ xét chung các hàm số lũy thừa trên tập (0; + $\large \infty$ ) . Thực tế tập xác định của mỗi hàm số sẽ khác nhau phụ thuộc vào số mũ a. Các em học sinh lưu ý điều này, tránh nhầm lẫn rằng tập (0; + $\large \infty$ ) là tập xác định của mọi hàm số lũy thừa.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết hàm số lũy thừa mà các em học sinh cần phải ghi nhớ để có thể giải quyết được những bài tập vận dụng hàm số này.

Nếu các em muốn tổng hợp các kiến thức toán 12 ngắn gọn, chi tiết thì đừng bỏ qua bộ sổ tay hack điểm các môn thi THPT Quốc Gia và kỳ thi đánh giá năng lực nhé!

2. Hướng dẫn giải các dạng bài hàm số lũy thừa

2.1 Dạng bài tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Để làm được dạng bài tập xác định của hàm số lũy thừa, các em cần thực hiện đủ 3 bước sau:

Bước 1: Xác định số mũ a của hàm số

Bước 2: Đưa ra điều kiện để hàm số xác định dựa vào tập xác định của hàm số:

+ Nếu a nguyên dương: D = R

+ Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0: D = R \ {0}

+ Nếu a không phải là số nguyên: D = (0; + $\large \infty$ )

Bước 3: Thực hiện giải bất phương trình để tìm tập xác định của hàm số.

2.2 Dạng bài tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Với dạng bài tính đạo hàm của hàm sỗ lũy thừa, các em cũng thực hiện 3 bước để giải đề:

Bước 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số mà đề bài đưa ra

Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm số thành phần dựa trên các công thức tính đạo hàm của hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số lũy thừa...

$\large \left ( u\pm v \right )'=u'\pm v'$
$\large \left ( uv \right )'=u'v+uv'$
$\large \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Bước 3: Tính toán và đưa ra kết quả

2.3 Dạng bài tìm tính chất số mũ trong hàm số lũy thừa dựa vào đồ thị đề bài cho sẵn

Với dạn bài tập này, các em học sinh cần quan sát đồ thị hàm số, đưa ra được nhận xét về tính nghịch biến, đồng biến của đồ thị. Xác định các điểm đi qua để suy ra tính chất của số mũ trong hàm số lũy thừa.

Kiến thức toán học 12 cơ bản và nâng cao được tổng hợp đầy đủ nhất trong bộ sách cán đích 9+. Nhanh tay đăng ký để nhận ưu đãi lên đến 50% trong mùa hè này bạn nhé!

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tập các định của hàm số $\large y=\left ( x^{2}-9 \right )^{\frac{1}{2}}$

Giải đáp: Chúng ta thấy số mũ của hàm số không phải là số nguyên, vì vậy áp dụng lý thuyết số mũ không phải là số nguyên thì cơ số thuộc tập xác định D = (0; + $\large \infty$ )

Do đó: $\large y=\left ( x^{2}-9 \right )^{\frac{1}{2}}$ xác định khi $\large \left ( x^{2}-9 \right ) > 0 < = > x^{2}-9 > 0 < = > x> 3$

Bài 2: Xét hàm số $\large y=x^{^{n}}$ trên (0; + $\large \infty$ ) có đồ thị như hình bên dưới, tìm tính chất của số mũ n

Giải đáp: Theo lý thuyết về các hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa ở phần 1.3 đồ thị hàm số, dễ dàng thấy được tính chất của số mũ n trong đồ thị hàm số trên là 0 < n <

Bài 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau: $\large y=\left ( x^{2}+1 \right )^{\frac{a}{2}}$

Giải đáp: Áp dụng công thức đạo hàm, ta có:

$\large y'=\left ( \left ( x^{2} +1\right )^{\frac{a}{2}} \right )'$

$\large =\frac{a}{2}.2x\left ( x^{2}+1 \right )^{\frac{a}{2}-1}$

$\large =a.x\left ( x^{2}+1 \right )^{\frac{a}{2}-1}$

$\large =a.x\sqrt{\left ( x^{2}+1 \right )^{a-2}}$

Bài 4: Cho a, b là các số thực. Đồ thị hàm số $\large y=x^{a} , y=x^{b}$ trên khoảng (0; + $\large \infty$ ) . Tìm tính chất của số mũ a và b

Giải đáp:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số $\large y=x^{a}$ đồng biến trên (0; + $\large \infty$ ) => a >1
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số $\large y=x^{b}$ nghịch biến trên (0; + $\large \infty$ ) => 0 < b < 1

Như vậy: 0 < b < 1 <

Lên lộ trình ôn tập toán 12 cùng các thầy cô của vuihoc trong khóa học PAS THPT hot nhất hiện nay. Đừng quên bấm đăng ký để được tư vấn và nhận nhiều ưu đãi trước thềm năm học mới bạn nhé!

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về hàm số lũy thừa trong chương trình toán 12. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em có thể nắm chắc phần kiến thức về hàm số lũy thừa để giải các bài tập liên quan. Để học và ôn tập nhiều kiến thức các môn trong chương trình lớp 12, các em hãy truy cập trang web vuihoc.vn hoặc đăng ký khóa học để được các thầy cô của vuihoc hướng dẫn chi tiết hơn nhé!

>> Mời các bạn xem thêm: