Lý thuyết toán 10: Quy tắc cộng, quy tắc nhân, sơ đồ hình cây

1. Quy tắc cộng 

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n cách hoàn thành.

Tương tự, ta có quy tắc sau: Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau) thì công việc đó có m + n + p cách hoàn thành. 

Ví dụ: Một quán cung cấp ba loại đồ uống: trà sữa, nước hoa quả và sinh tố. Quán có 5 loại trà sữa, 6 loại nước hoa quả và 4 loại sinh tố. Vậy mỗi khách hàng có bao nhiêu cách để chọn một loại đồ uống?

Lời giải:

Việc chọn một loại đồ uống tương ứng với việc thực hiện một trong ba hành động sau:

• Chọn một loại trà sữa: có 5 lựa chọn.
• Chọn một loại nước hoa quả: có 6 lựa chọn.
• Chọn một loại sinh tố: có 4 lựa chọn.

Do đó, tổng số cách chọn một loại đồ uống là 5 + 6 + 4 = 15.

2. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành.

Tương tự, ta có quy tắc sau: Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m.n.p cách hoàn thành. 

Ví dụ: Bạn Nam dự định tạo mật khẩu cho khóa vali bằng một số ba chữ số, được chọn từ các chữ số 1, 2, 3 và 4. Hãy hỏi xem Nam có bao nhiêu cách để đặt mật khẩu?

Lời giải: 

Để tạo một mật khẩu gồm ba chữ số từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, ta sẽ thực hiện ba bước lựa chọn:

• Chọn chữ số hàng trăm: Có 4 lựa chọn.
• Chọn chữ số hàng chục: Có 4 lựa chọn.
• Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 4 lựa chọn.

Như vậy, tổng số cách đặt mật khẩu là 4 x 4 x 4 = 64.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. Sơ đồ hình cây

- Sơ đồ hình cây (Hình 6) là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với cách nhánh tỏa ra các nút bổ sung.

- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.

- Ví dụ: Một quán cung cấp ba loại đồ uống: trà sữa, nước hoa quả và sinh tố. Quán có 5 loại trà sữa, 6 loại nước hoa quả và 4 loại sinh tố. Vậy mỗi khách hàng có bao nhiêu cách để chọn một loại đồ uống?

- Lời giải: Sử dụng sơ đồ hình cây để biểu diễn bài toán chọn đồ uống

    ├── Trà sữa
    │       ├── Trà sữa 1
    │       ├── Trà sữa 2
    │       ├── Trà sữa 3
    │       ├── Trà sữa 4
    │       └── Trà sữa 5
    ├── Nước hoa quả
    │       ├── Nước hoa quả 1
    │       ├── Nước hoa quả 2
    │       ├── Nước hoa quả 3
    │       ├── Nước hoa quả 4
    │       ├── Nước hoa quả 5
    │       └── Nước hoa quả 6
    └── Sinh tố
            ├── Sinh tố 1
            ├── Sinh tố 2
            ├── Sinh tố 3
            └── Sinh tố 4

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể tạo ra những số tự nhiên gồm ba chữ số chia hết cho 5. Hãy tính xem có bao nhiêu số như vậy.

Một số tự nhiên chia hết cho 5 sẽ có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Để tạo được số đáp ứng yêu cầu, ta sẽ thực hiện ba bước chọn: lựa chọn chữ số hàng đơn vị, chọn chữ số hàng chục và chọn chữ số hàng trăm.

• Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 1 cách chọn (chữ số 5).
• Chọn chữ số hàng chục: Có 6 cách chọn (một trong các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
• Chọn chữ số hàng trăm: Có 6 cách chọn (một trong các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vậy tổng số cách lập được số tự nhiên gồm ba chữ số, chia hết cho 5 từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 1 × 6 × 6 = 36.

Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ta có thể tạo ra bao nhiêu số chẵn?

a) Số chẵn gồm ba chữ số

Để tạo một số chẵn với ba chữ số, ta thực hiện ba bước: chọn chữ số hàng đơn vị, chọn chữ số hàng chục và chọn chữ số hàng trăm.

• Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 cách chọn (một trong ba chữ số chẵn: 2, 4, 6).
• Chọn chữ số hàng chục: Có 7 cách chọn (một trong 7 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
• Chọn chữ số hàng trăm: Có 7 cách chọn (một trong 7 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Vậy tổng số số chẵn có thể lập được là 3×7×7=147. 

b) Số chẵn gồm ba chữ số khác nhau

Để tạo một số chẵn với ba chữ số đôi một khác nhau, ta cũng thực hiện ba bước tương tự:

• Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 cách chọn (một trong ba chữ số chẵn: 2, 4, 6).
• Chọn chữ số hàng chục: Có 6 cách chọn (bỏ đi chữ số đã chọn ở hàng đơn vị, còn lại 6 chữ số, chọn một trong số đó).
• Chọn chữ số hàng trăm: Có 5 cách chọn (bỏ đi chữ số đã chọn ở hàng đơn vị và hàng chục, còn lại 5 chữ số, chọn một trong số đó).

Vậy tổng số số chẵn khác nhau có thể lập được là 3×6×5 = 90. 

Bài 3: Trong giải đấu bóng đá World Cup, vòng bảng có 32 đội tham gia, được chia thành 8 bảng, mỗi bảng có 4 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt. Tính số trận được thi đấu trong vòng bảng theo thể thức trên. 

Trong mỗi bảng có 4 đội thi đấu vòng tròn, có nghĩa là mỗi đội sẽ gặp mặt từng đội khác một lần.

Giả sử có 4 đội: A, B, C, D.

• Đội A có 3 cách chọn đối thủ (B, C, hoặc D).
• Đội B có 2 cách chọn đối thủ (C hoặc D).
• Đội C có 1 cách chọn đối thủ (D).
• Đội D đã thi đấu với các đội A, B, C, nên không cần chọn thêm.

Vậy mỗi bảng sẽ có tổng số trận là: 3+2+1=6 trận.

Vì có tổng cộng 8 bảng, nên tổng số trận đấu trong vòng bảng sẽ là: 8×6=48 trận.

Vậy tổng cộng có 48 trận được thi đấu trong vòng bảng theo thể thức này.

Bài 4: Một hãng thời trang đưa ra một mẫu áo sơ mi mới có ba màu: trắng, xanh, đen. Mỗi loại có các cỡ S, M, L, XL, XXL.

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các loại áo sơ mi với màu và cỡ áo nói trên.

b) Nếu một cửa hàng muốn mua tất cả các loại áo sơ mi (đủ loại màu và đủ loại cỡ áo) và mỗi loại một chiếc để về giới thiệu thì cần mua tất cả bao nhiêu chiếc áo sơ mi?

Lời giải: 

a) Cỡ áo: S, M, L, XL, XXL (tổng cộng 5 loại).

Màu áo: trắng, xanh, đen (tổng cộng 3 loại).

Chúng ta có thể tạo sơ đồ hình cây để biểu thị các loại áo sơ mi theo màu sắc và kích cỡ như sau:

Hoặc ta cũng có thể vẽ sơ đồ cây trên dưới dạng sau:

b) Việc mua tất cả các loại áo sơ mi là việc thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn màu áo và chọn cỡ áo.

+ Chọn màu áo: có 3 cách chọn.

+ Chọn cỡ áo: có 5 cách chọn.

Vậy cần mua tất cả 3 . 5 = 15 chiếc áo sơ mi.

Với những kiến thức về quy tắc cộng, quy tắc nhân, sơ đồ hình cây, bạn đã trang bị thêm cho mình những kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán tổ hợp một cách hiệu quả. Việc hiểu rõ và vận dụng đúng các quy tắc này sẽ giúp bạn nâng cao khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Hãy áp dụng những kiến thức này vào thực tiễn và phát triển thêm kỹ năng toán học của bản thân!