Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện Và Bài Tập

1. Cách xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua 4 đỉnh hay 4 điểm A, B, C, D. Để tìm và xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, chúng ta làm theo 3 cách sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất IA = IB = IC = ID. Gọi I là tâm mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu. 

Cách 2: Ví dụ phương trình mặt cầu là $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0$. 

Vì mặt cầu cùng đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Ta sẽ có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c, d. Giải hệ này ta sẽ nhận được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Cách 3: Ta viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, CD, BC. Giao của ba mặt phẳng này là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

2. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Phương pháp chung để tính nhanh công thức mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

• Chúng ta xác định tâm của đáy để từ đó dựng được đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.

• Dựng mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì.

• Tâm mặt cầu là giao điểm của d và (P).

3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là dạng bài tập rất phổ biến. Ta có các dạng công thức dưới đây:

3.1. Dạng 1: Hình chóp đều

Ta có a là độ dài cạnh bên của hình chóp, h là chiều cao của hình chóp.

R = $\frac{a^{2}}{2h}$

Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho biết ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a.

Giải: 

Gọi O chính là tâm hình vuông ABCD, vậy ta có SO$\perp $(ABCD).

ao = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta xét tam giác SAO vuông tại O.

SO = $\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{34}}{2}$

Ta lại có R = $\frac{SA^{2}}{2SO}=\frac{9a\sqrt{34}}{34}$

3.2. Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Ta gọi r, h là bán kính và chiều cao đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Có:

R=$\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}}$

Ví dụ: Hãy tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC khi cho tứ diện OABC, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 2a. 

Giải: 

Ta có tam giác OBC vuông tại O nên h = OA = a

Ta có BC =$\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2\sqrt{2}a$

r = $a\sqrt{2}$

Theo công thức ta áp dụng:

R = $\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(a\sqrt{2})^{2}}=\frac{3a}{2}$

3.3. Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy được gọi lần lượt là $R_{b},R_{d}$. GT là độ dài giao tuyến mặt bên và đáy.

R=$\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}$

Ví dụ: Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Tam giác SAB đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 

Giải

Giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bán kính R đường tròn ngoại tiếp mặt bên là R = SG =$\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có công thức:

$R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ

4. Một số bài tập tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 1: Hãy tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết rằng S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. BC = 4a, AB = 3a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy.

Giải:

Ta có $R_{d}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{5a}{2}$

=> R=$\sqrt{R_{d}^{2}+(\frac{h}{2})^{2}}=\sqrt{(\frac{5a}{2})^{2}+(\frac{12a}{2})^{2}}=\frac{13a}{2}$

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và đều bằng a. Hãy tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết rằng $\widehat{ASC}=\widehat{ASB}=90^{\circ}$

Giải:

S = $4\pi R^{2}=\frac{7\pi a^{2}}{3}$

Bài 3: Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khi cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy (ABC). AB = a và $\widehat{BAC}=120^{\circ}$

Giải:

Áp dụng định lý cos ta có:

BC =$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}}=a\sqrt{3}$

Lại có r = $\frac{AB.BC.AC}{4.S_{ABC}}=\frac{AB.BC.AC}{2.AB.AC.sin\widehat{BAC}}=a$

R=$\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}}=\sqrt{(\frac{2a}{a})^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}$

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 2a. 

Giải:

Ta có:

R = $\frac{AC}{2}$, h = SA

R = $\sqrt{(\frac{AC}{2})^{2}+(\frac{SA}{2})^{2}}=\frac{1}{2}S_{c}=a$

Bài 5: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a và $\widehat{ASB}=120^{\circ}$

Giải:

AB = $\sqrt{SA^{2}+SB^{2}-2SA.SB.cos\widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$

=> GT=AB=$a\sqrt{3}$

$R_{d}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$R_{b}=\frac{SA.SB.AB}{4.S_{ABC}}=\frac{SA.SB.AB}{2.SA.SB.sin120^{\circ}}=a$

Để ôn tập nhiều hơn về các lý thuyết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đồng thời áp dụng để thực hành các bài tập luyện tập, cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Trường Giang nhé. Có rất nhiều mẹo giải nhanh bằng CASIO mà các em học sinh không nên bỏ qua đâu đó!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách giải chi tiết nhất của bài toán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Để có thể đạt được kết quả cao thì hãy kết hợp luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Các bạn có thể truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ôn thi THPT Quốc gia!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập