Tổng ôn tập hàm số mũ và logarit siêu chi tiết

Trước khi đi chi tiết vào bài viết, VUIHOC nhận định kiến thức ôn tập hàm số mũ và logarit, cũng như đánh  giá độ khó của bài tập dạng này trong bảng sau đây:

Để nắm vững lý thuyết cũng như tiện hơn trong thời gian ôn tập sau này, các em nhớ tải file tổng ôn tập hàm số mũ và logarit phần lý thuyết dưới đây nhé! Trong đây bao gồm toàn bộ những lý thuyết cần nhớ, công thức áp dụng giải bài tập hàm số mũ và logarit.

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết ôn tập hàm số mũ và logarit

Bật mí bí mật: Dưới cuối bài viết này sẽ có một món quà bất ngờ dành tặng cho các em học sinh yêu quý của VUIHOC. Đừng bỏ lỡ nhé!

1. Ôn tập hàm số mũ và logarit phần lý thuyết 

1.1. Tổng hợp lý thuyết hàm số mũ 

1.1.1 Định nghĩa của hàm số mũ

Theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

1.1.2. Đạo hàm và tính chất

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$ có tính chất sau:

1.1.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ - vùng kiến thức ôn tập hàm số mũ và logarit quan trọng

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y=a^x$ (a > 0; a ≠ 1).

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát đồ thị:

   + Đi qua điểm $(0;1)$

   + Nằm phía trên trục hoành.

   + Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Hình dạng đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

1.2. Tổng hợp lý thuyết hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa

Vì đều có “xuất thân” từ hàm số, cho nên hàm mũ và hàm logarit có những nét tương đồng nhau trong định nghĩa. Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

1.2.2. Đạo hàm và tính chất

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số y=logau(x). Đạo hàm hàm số logarit là:

1.2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit - bài toán ngược của nhận dạng đồ thị hàm số mũ và logarit

Xét hàm số logarit $y=log_ax$ ($a>0$; a≠1, $x>0$), ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).

• Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$.

 • Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

•Khảo sát hàm số:

   + Đi qua điểm $(1;0)$

   + Nằm ở bên phải trục tung

   +Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Hình dạng đồ thị:

2. Ôn tập hàm số mũ và logarit - phần bài tập

Ở phần này, VUIHOC sẽ tổng hợp những dạng bài tập ôn tập hàm số mũ và logarit các em thường hay gặp nhất trong các bài kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Đối với từng dạng, các em cần lưu ý đọc kỹ các bước giải và ví dụ minh hoạ để hình dung ra cách làm và áp dụng vào những bài sau.

2.1. Các dạng bài tập ôn tập hàm số mũ kèm ví dụ minh hoạ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm đề thi đại học hoặc trong chương trình toán 12 hàm số mũ và logarit. Để làm được các bài tập hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu rõ hơn về dạng bài tập hàm số mũ này:

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số mũ

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ trong chuyên đề toán 12 hàm số mũ và logarit, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

Bước 3: Tính toán và kết luận.

Ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau:

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số mũ sau:

Giải:

Dạng 4: Tính giới hạn hàm số mũ

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Cách làm cụ thể được minh hoạ ở ví dụ sau:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn

Đây là dạng toán thuộc chuyên đề hàm số mũ và logarit thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập hàm số mũ dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

Bước 1: tính y’, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... $x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$

Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... $f(x_n)$

Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

• GTNN m là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được

• GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được

Cụ thể hơn về dạng bài tập hàm số mũ này, ta xét ví dụ sau:

2.2. Các dạng bài tập hàm số logarit kèm bài tập ví dụ

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần điều kiện là $a$ là số thực dương và $a$ khác 1.

+ Hàm số $y=log_ax$ cần điều kiện:

• Số thực $a$ dương và khác 1.

• $x>0$

Ví dụ minh hoạ:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

Dạng 4: Cực trị hàm số logarit và min - max nhiều biến

Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao. Để giải được các bài tập dạng này, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit. 

Cùng VUIHOC xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max này nhé!

3. Bài tập áp dụng ôn tập hàm số mũ và logarit

Đây là phần quan trọng nhất trong quá trình ôn tập hàm số mũ và logarit - thực hành các dạng bài tập. Để giúp các em áp dụng được những kiến thức các phần trên, VUIHOC đã tổng hợp 50+ bài tập ôn tập hàm số mũ và logarit đầy đủ các dạng kèm theo giải chi tiết. Các em nhớ tải về để luyện tập nhé!

Tải xuống file bài tập hàm số mũ và logarit có giải chi tiết

Đặc biệt, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu lý thuyết hàm số luỹ thừa - mũ - logarit cực hay, phiên bản limited của VUIHOC, bao gồm toàn bộ lý thuyết, công thức và đặc biệt nhất là cách giải bằng máy tính CASIO cực nhanh. Đừng bỏ qua món quà vô cùng hấp dẫn này của VUIHOC nha!

 Tải xuống phần quà bộ tài liệu lý thuyết đặc biệt của VUIHOC

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về hàm số mũ và logarit, kèm theo các bài tập ôn tập hàm số mũ và logarit. Chúc các em ôn tập thật tốt phần kiến thức này nhé!