Phép Đối Xứng Trục Là Gì? Công Thức Và Bài Tập Vận Dụng

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Định nghĩa:

Phép biến hình biến mỗi điểm M $\in $ đường thẳng d thành chính nó, mỗi điểm $M \notin d$ thành M’ để d trở thành đường trung trực của MM’. Khi đó gọi là phép đối xứng trục d.

• d gọi là trục đối xứng.

• Phép đối xứng trục d kí hiệu là $Đ_{d}$.

Hình H có H’ là ảnh qua phép đối xứng trục d nên ta gọi H, H’ đối xứng nhau qua d.

Nhận xét:

Cho đường thẳng d, mỗi điểm M gọi $M_{0}$ là hình chiếu M $\perp$ trên d. Khi đó $M'' = Đ_{d}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{M_{0}M'}=\overrightarrow{M_{0}M}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh đường thẳng AB và A, B qua phép đối xứng trục Ox.

Giải:

Ta có ảnh của A, B lần lượt là A’, B’ qua phép đối xứng trục Ox có A’(1; 2) và B’(3; -1).

A’B’ là ảnh của AB qua phép trục đối xứng Ox.

PT đường thẳng A’B’: $\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{-1 - 2} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{-3}\Leftrightarrow 3x + 2y - 7=0$

Đường thẳng AB qua phép đối xứng là: $3x + 2y - 7=0$

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp các phương pháp, kỹ năng của mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

3. Tính chất

• Trong phép đối xứng trục khoảng cách giữa 2 điểm bất kì luôn được bảo toàn.

• Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn cùng bán kính và biến tam giác thành tam giác bằng nó.

4. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng d là trục đối xứng của hình H khi phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Vậy nên H là hình có trục đối xứng.

Ví dụ: Điểm M(1; 3) tìm tọa độ M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy và tọa độ M’’ là ảnh của M’ qua trục Ox.

Giải:

5. Một số dạng bài tập về phép đối xứng trục lớp 11 (có lời giải)

5.1. Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục

Để xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục ta có thể sử dụng các cách sau đây:

• Dựa vào định nghĩa phép đối xứng.

• Sử dụng biểu thức tọa độ mà trục đối xứng cũng chính là trục tọa độ Ox, Oy.

• Sử dụng biểu thức vectơ của phép đối xứng.

Ví dụ: 

Mặt phẳng Oxyz cho điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của B, A và đường thẳng AB qua Ox.

Giải:

Qua phép đối xứng trục Ox có A’ là ảnh của A với tọa độ A’(1; 2).

Qua phép đối xứng trục Ox có B’ là ảnh của B với tọa độ B’(3; -1).

Ảnh của AB qua phép đối xứng trục Ox chính là A’B’ nên A’B’ có phương trình:

$\frac{x - 1}{3 - 1}=\frac{y - 2}{-1 - 2} \Rightarrow 3x + 2y - 7=0$

5.2. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục

Để tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng trục ta thực hiện những bước sau:

• Tìm I’ là ảnh của I tâm của đường tròn C qua phép đối xứng.

• Viết phương trình đường tròn C’ tâm I’ và bán kính R’ = R.

• Dùng biểu thức tọa độ trong trường hợp trục đối xứng là Oy hoặc Ox.

Ví dụ: 

Mặt phẳng Oxyz đường tròn C: $(x - 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$. Viết phương trình đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đối xứng trục Oy.

Giải:

Đường tròn C tâm I(2;-5) và R = 4.

Ảnh của I(2;-5) qua Oy là I’(-2;-5).

Nên ảnh của C qua trục Oy là: C’: $(x - 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$.

5.3. Dạng 3: Chỉ ra các hình có trục đối xứng

• Hình có đường thẳng d chia thành 2 phần mà nếu gấp hình theo d thì 2 phần đó sẽ chồng khít với nhau. Và những hình như vậy có thể gọi là hình có trục đối xứng qua d.

Ví dụ: Trong 3 hình dưới đây hình nào có trục đối xứng?

Giải:

a, b là 2 hình không có trục đối xứng. 

c là hình có trục đối xứng được biểu diễn như sau:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức và bài tập phép đối xứng trục thường gặp thuộc chương trình Toán 11. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin khi làm bài tập về phép đối xứng trục. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 11, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!

Bài viết tham khảo thêm

Phép tịnh tiến

Phép đối xứng tâm