Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm toán 12

1. Ý nghĩa phương sai và độ lệch chuẩn trong mẫu số liệu ghép nhóm

- Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán. 

- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. 

- Chú ý: Với các mẫu số liệu ghép nhóm có cùng số trung bình (hoặc xấp xỉ nhau), ta thường sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu đó. 

2. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn 

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau: 

- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², được tính bởi công thức: 

$\large s^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}(c_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(c_{2}-\overline{x})^{2}+...+n_{k}(c_{k}-\overline{x})^{2}]$

Trong đó: n = n₁ + n₂ + ... + n_k là cỡ mẫu; 

 $\large \overline{x}=\frac{1}{n}(n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+...+n_{k}c_{k})$ là số trung bình. 

- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai, nghĩa là:  $\large s=\sqrt{s^{2}}$

- Chú ý: 

+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau: 

 $\large s^{2}=\frac{1}{n}(n_{1}c_{1}^{2}+n_{2}c_{2}^{2}+...+n_{k}c_{k}^{2})-\overline{x}^{2}$

+ Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê: 

 $\large \widehat{s}^{2}=\frac{1}{n-1}[n_{1}(c_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(c_{2}-\overline{x})^{2}+...+n_{k}(c_{k}-\overline{x})^{2}]$

3. Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn toán 12

3.1 Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn toán 12 kết nối tri thức

Bài 3.4 trang 84 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

b)

Mẫu số liệu gốc

Giá trị trung bình là:

 $\large \overline{x}=(49,5+48,9+51,4+51,1+49,3+48,7+50,8+50,7+51,2+50,2+48,8+50,6+48,7+49,8+50,9+49,6+48,8+49,2+51,3+51,2+50,7+51,4+50,4+51,1+50,1+50,0+48,6+50,5+51,2+49,6).\frac{1}{30}$

 $\large \overline{x}=\frac{15043}{300}$

Ta có bảng phương sai sau: 

Tổng bình phương độ lệch là:  $\large \frac{78461}{3000}$

Khi đó phương sai:  $\large s^{2}=\frac{78461}{3000}.\frac{1}{30}=\frac{78461}{90000}$

Độ lệch chuẩn là:  $\large s=\sqrt{\frac{784461}{90000}}\approx 0,934$

Mẫu số liệu ghép nhóm

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Giá trị trung bình là:

 $\large \overline{x}=\frac{48,75.6+49,25.2+49,75.4+50,25.4+50,75.6+51,25.8}{30}=\frac{3011}{30}$

Phương sai:

$\large s^{2}=\frac{48,75^{2}.6+49,25^{2}.2+49,75^{2}.4+50,25^{2}.4+50,75^{2}.6+51,25.8}{30}-\left ( \frac{3011}{60} \right )^{2}=\frac{194}{225}$

Độ lệch chuẩn: $\large s=\sqrt{\frac{194}{225}}\approx 0,929$

Giá trị mẫu số liệu gốc là chính xác, giá trị mẫu số liệu ghép nhóm là xấp xỉ.

Bài 3.5 trang 84 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\large \overline{x_{1}}=\frac{4.1,75+9.2,25+13.2,75+8.3,25+6.3,75}{4+9+13+8+6}=2,7875$

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\large \overline{x_{2}}=\frac{2.1,75+8.2,25+20.2,75+7.3,25+3.3,75}{2+8+20+7+3}=2,7625$

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\large s_{1}^{2}=\frac{4.1,75^{2}+9.2,25^{2}+13.2,75^{2}+8.3,25^{2}+6.3,75^{2}}{4+9+13+8+6}-(2,7875)^{2}\approx 0,355$

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\large s_{2}^{2}=\frac{2.1,75^{2}+8.2,25^{2}+20.2,75^{2}+7.3,25^{2}+3.3,75^{2}}{2+8+20+7+3}-(2,7625)^{2}\approx 0,219$

$\large \Rightarrow s_{2}=\sqrt{0,219}\approx 0,47$

Đối với mẫu số liệu này thì phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ nên độ phân tán của số liệu thấp. Do đó các giá trị của mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình.

Bài 3.6 trang 84 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

a) 
$\large \overline{x}=\frac{4,75.3+5,25.8+5,75.7+6,25.2}{20}=5,45$

$\large s^{2}=\frac{4,75^{2}.3+5,25^{2}.8+5,75^{2}.7+6,25^{2}.2}{20}-5,45^{2}=0,185$

$\large s=\sqrt{0,185}\approx 0,43$

b) Dữ liệu cho thấy đường kính của các nhân tế bào có mức độ biến động nhỏ và gần giá trị trung bình. Điều này có thể thấy được mức độ đồng đều trong kích thước của các nhân tế bào hoặc quy trình đo lường được thực hiện một cách chính xác.

Bài 3.7 trang 84 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Thời gian chạy trung bình của A là:

$\large \overline{x}_{A}=\frac{10,15.2+10,45.10+10,75.5+11,05.3}{20}=10,585$

Thời gian chạy trung bình của B là:

$\large \overline{x}_{B}=\frac{10,15.3+10,45.7+10,75.9+11,05.6}{25}=10,666$

Phương sai và độ lệch chuẩn của A là: 

$\large s_{A}^{2}=\frac{10,15^{2}.2+10,45^{2}.10+10,75^{2}.5+11,05^{2}.3}{20}-10,585^{2}\approx 0,067$

$\large \Rightarrow s_{A}=\sqrt{0,067}\approx 0,26$

Phương sai và độ lệch chuẩn của B là

$\large s_{B}^{2}=\frac{10,15^{2}.3+10,45^{2}.7+10,75^{2}.9+11,05^{2}.6}{20}-10,666^{2}\approx 0,083$

$\large \Rightarrow s_{B}=\sqrt{0,083}\approx 0,29$

Vận động viên A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn so với vận động viên B. Điều này cho thấy thời gian chạy tập luyện của vận động viên A ít biến động hơn so với vận động viên B. Do đó vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn so với vận động viên B.

Bài 3.8 trang 84 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Có thể sử dụng vì chất lượng hai trường là tương đương. 

b) Không thể sử dụng vì có thể không phản ánh đúng bản chất của dữ liệu do doanh thu thường không đồng đều và có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến doanh thu của từng siêu thị.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp nhất với bản thân

3.2 Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn toán 12 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 82 sgk toán 12/1 Chân trời sáng tạo

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large \overline{x}=\frac{13.19,25+45.19,75+24.20,25+12.20,75+6.21,25}{100}=20,015$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large s^{2}=\frac{13.19,25^{2}+45.19,75^{2}+24.20,25^{2}+12.20,75^{2}+6.21,25^{2}}{100}-20,015^{2}\approx 0,277$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\large s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0,277}\approx 0,526$

Bài 2 trang 82 sgk toán 12/1 Chân trời sáng tạo

a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large \overline{x}=\frac{2.7,3+4.7,5+7.7,7+5.7,9}{18}\approx 7,667$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large s^{2}=\frac{2.7,3^{2}+4.7,5^{2}+7.7,7^{2}+5.7,9^{2}}{18}- 7,667^{2}\approx 0,032$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\large s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0,032}\approx 0,179$

Bài 3 trang 82 sgk toán 12/1 Chân trời sáng tạo

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó: $\large Q_{1}=\frac{46,7+46,8}{2}=46,75$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó: $\large Q_{3}=\frac{54,8+55,6}{2}=55,2$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\large \overline{x}=\frac{42+43,4+43,4+46,5+...+60,3+61,1}{20}=50,945$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$\large s^{2}=\frac{42^{2}+43,4^{2}+43,4^{2}+46,5^{2}+...+60,3^{2}+61,1^{2}}{20}-50,945^{2}\approx 32,2$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $\large s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{32,2}\approx 5,675$

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54), x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là: $\large \frac{1}{2}(x_{5}+x_{6})\in [46;50)$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large Q'_{1}=54+\frac{\frac{3.20}{4}-(3+7+4)}{3}.(58-54)=\frac{166}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large \Delta '_{Q}=Q'_{3}-Q'_{1}=\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}\approx 8,19$

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large \overline{x}'=\frac{3.44+7.48+4.52+3.56+3.60}{20}=51,2$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\large s'^{2}=\frac{3.44^{2}+7.48^{2}+4.52^{2}+3.56^{2}+3.60^{2}}{20}-51,2^{2}=26,56$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $\large s'=\sqrt{s'^{2}}=\sqrt{26,56}\approx 5,154$

Bài 4 trang 82 sgk toán 12/1 Chân trời sáng tạo

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu: n_A = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; n_B = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$\large \overline{x}_{A}=\frac{25.31+38.33+20.35+10.37+7.39}{100}=33,72$

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$\large \overline{x}_{B}=\frac{22.31+27.33+19.35+18.37+14.39}{100}=34,5$

Vì $\large \overline{x}_{A}< \overline{x}_{B}$ nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$\large s_{A}^{2}=\frac{25.31^{2}+38.33^{2}+20.35^{2}+10.37^{2}+7.39^{2}-33,72^{2}}{100}\approx 5,402$

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$\large s_{A}=\sqrt{s_{A}^{2}}=\sqrt{5,402}\approx 2,324$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$\large s_{B}^{2}=\frac{22.31^{2}+27.33^{2}+19.35^{2}+18.37^{2}+14.39^{2}-34,5^{2}}{100}\approx 7,31$

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$\large s_{B}=\sqrt{s_{B}^{2}}=\sqrt{7,31}\approx 2,704$

Vì S_A ≈ 2,324 < S_B ≈ 2,704 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.

Đăng ký ngay combo sổ tay kiến thức các môn học để nhận ưu đãi cực hấp dẫn từ vuihoc nhé!

3.3 Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn toán 12 cánh diều 

Bài 1 trang 92 sgk toán 12/1 Cánh diều 

a) Đáp án đúng là: B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:$\large \overline{x}=\frac{4.42,5+14.47,5+8.52,5+10.57,5+6.62,5+2.67,5}{44}\approx 53,2$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\large s^{2}=\frac{[4.(42,5-53,2)^{2}+14.(47,5-53,2)^{2}+8.(52,5-53,2)^{2}+10.(57,5-53,2)^{2}+6.(62,5-53,2)^{2}+2.(67,5-53,2)^{2}]}{44}=\frac{2029,56}{44}\approx 46,1$

b) Đáp án đúng là: A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\large s=\sqrt{46,1}\approx 6,8$ (chục nghìn đồng).

Bài 2 trang 92 sgk toán 12/1 Cánh diều

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

$\large \overline{x}_{A}=\frac{15.12,5+18.17,5+10.22,5+10.27,5+5.32,5+2.37,5}{60}=\frac{1240}{60}\approx 20,67$ (triệu đồng) 

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

$\large s_{A}^{2}=\frac{15.(12,5-20,67)^{2}+18.(17,5-20,67)^{2}+10.(22,5 -20,67)^{2}+10.(27,5-20,67)^{2}+5.(32,5-20,67)^{2}+2.(37,5-20,67)^{2}}{60}$ $\large =\frac{2948,334}{60}\approx 49,14$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\large s_{A}=\sqrt{49,14}\approx 7,01$ (triệu đồng). 

- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

$\large \overline{x}_{B}=\frac{25.12,5+15.17,5+7.22,5+5.27,5+5.32,5+3.37,5}{60}=\frac{1047,5}{60}\approx 17,46$ (triệu đồng)

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

$\large s_{B}^{2}=\frac{25.(12,5-20,67)^{2}+15.(17,5-20,67)^{2}+7.(22,5 -20,67)^{2}+5.(27,5-20,67)^{2}+5.(32,5-20,67)^{2}+3.(37,5-20,67)^{2}}{60}$ $\large =\frac{3632,696}{60}\approx 60,54$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:  $\large s_{B}=\sqrt{60,54}\approx 7,78$ (triệu đồng). 

b) Do s_A ≈ 7,01 < s_B ≈ 7,78 nên công ty A có mức lương đồng đều hơn công ty B.

Bài 3 trang 92 sgk toán 12/1 Cánh diều

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\large \overline{x}=\frac{25.25+20.35+20.45+15.55+14.65+6.75}{100}=\frac{4410}{100}\approx 44$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\large s^{2}=\frac{25.(25-44)^{2}+20.(35-44)^{2}+20.(45-44)^{2}+15.(55 -44)^{2}+14.(65-44)^{2}+6.(75-44)^{2}}{100}$ $\large =\frac{24420}{100}=244,2$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:  $\large s=\sqrt{244,2}\approx 16,5$

Trên đây là toàn bộ bài học Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm chương trình toán 12. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh nắm vững cách tính phương sai và độ lệch chuẩn để giải quyết các dạng bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12
• Lý thuyết và bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12
• Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm