3 cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Trước khi tìm hiểu lý thuyết và bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em tham khảo bảng tổng quan kiến thức dưới đây để khái quát về dạng toán này nhé!

1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ

1.1. Công thức bất phương trình mũ cơ bản

Trước khi vào chi tiết bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần hiểu lý thuyết cơ bản về bất phương trình mũ.

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x}>b$ (hoặc $a^{x}<b, a^{x}\leq b,a^{x}\geq b$) với a > 0, a ≠1 Ta xét bất phương trình có dạng $a^{x}>b$.

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$, vì $a^{x}>b$, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^{x}>b$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>log_{a}b$

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $x<log_{a}b$

1.2. Công thức khái quát cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Để giải bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em cần nắm vững công thức tổng quát về phương pháp này:

Bài toán: Tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm trên D:   ?

Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng $A(m)>f(x)$ hoặc $A(m)\geq f(x)$ hoặc $A(m)\leq f(x)$ hoặc $A(m)< f(x)$

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m.

Lưu ý: Nếu hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì:

• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\leq \max_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\leq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\geq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\geq \max_{D}f(x)$

Để hiểu hơn về cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, chúng ta cùng đi chi tiết vào các dạng bài sau đây nhé!

2. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số để hạ mũ và biện luận

Với a>1: $a^{f(x)}>b^{f(x)}>log_ab$

Với 0<a<1: $a^{f(x)}>b^{f(x)}<log_ab$

Cùng theo dõi ví dụ sau để hiểu hơn về phương pháp đưa về cùng cơ số để tìm m để bất phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $(\frac{2}{e})^{x^2+2mx+1}\leq (\frac{2}{e})^{2x-3m}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

2.2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm bằng cách đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm hiệu quả với những bất phương trình khó, phức tạp. Mục đích của đặt ẩn phụ là đưa những bất phương trình phức tạp trở về dạng cơ bản như bất phương trình bậc hai để dễ dàng hơn trong việc xử lý bài toán. Cụ thể hơn, chúng ta cùng xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phương pháp giải này:

2.3. Phương pháp đánh giá trong bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Trước khi áp dụng phương pháp đánh giá vào bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần nắm chắc kiến thức về tính đơn điệu của hàm số:

Theo định nghĩa: 

Một hàm số (C): y = f(x) có tập xác định là M. Nếu:

• Hàm số (C) gọi là đồng biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

• Hàm số (C) gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f liên tục và có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó hàm số f:

• Đồng biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\geq 0,\forall x\in I$
• Nghịch biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\leq 0,\forall x\in I$

Cụ thể hơn, chúng ta cùng xét ví dụ sau đây:

3. Bài tập áp dụng

Để hiểu sâu hơn và nắm vững lý thuyết, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu đầy đủ các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm dễ gặp nhất trong chương trình học và các đề thi. Tải về ngay nhé!

Tải xuống bộ tài liệu toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Các em đã cùng Vuihoc điểm lại lý thuyết cùng những phương pháp giải bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em sẽ dễ dàng xử lý các bài toán bất phương trình mũ có tham số.