Chinh phục bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các em đọc bảng sau để có nhận định chung nhất về độ khó cũng như vùng kiến thức cần nắm khi giải các bài tập tìm m để phương trình logarit có nghiệm nhé!

Để tiện hơn cho ôn tập, các em tải link dưới đây để lấy file tổng hợp toàn bộ lý thuyết phương trình logarit và bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình logarit - tìm m để phương trình logarit có nghiệm

1. Ôn tập tổng quan định nghĩa và công thức về phương trình logarit

1.1. Định nghĩa

Để giải được bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm, các em học sinh cần nắm vững định nghĩa về phương trình logarit đầu tiên.

Về phương trình logarit đã học trong chương trình THPT, với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

1.2. Bảng tổng hợp các công thức

Một số công thức biến đổi logarit vận dụng trong bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm được VUIHOC tổng hợp tại bảng sau đây, các em lưu ý nhé:

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi phương trình logarit trong các bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm mà các em cần ghi nhớ:

Quy tắc logarit của 1 tích áp dụng bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(ab)=log(a)+log(b)$. 

– Điều kiện: a, b đều là số dương với $0<\alpha \neq 1$

– Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số $a=10$ là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa áp dụng bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_ab=log_ab$

– Điều kiện với mọi số α và a, b là số dương với  $0<\alpha \neq 1$ 

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

2. Phương pháp giải bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm

2.1. Các bước giải chi tiết bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm

Để xử lý bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm, ta cần thực hiện theo 4 bước sau đây:

• Bước 1: Tách $m$ ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f(x)=A(m)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $D$.

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $A(m)$ để đường thẳng $y=A(m)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$.

• Bước 4: Kết luận các giá trị của $A(m)$ để phương trình $f(x)=A(m)$ có nghiệm (hoặc có $k$ nghiệm) trên $D$.

Lưu ý:

• Nếu hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có $k$ nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=A(m)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $k$ điểm phân biệt.

Một số định lý và công thức cần nhớ đê giải bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm:

Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thoả mãn:

Định lý đảo về dấu tam thức bậc 2:

2.2. Ví dụ minh hoạ

Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán tìm m để phương trình logarit có nghiệm, các em học sinh cùng VUIHOC xét các ví dụ sau đây và nhận xét các bước làm ứng với lý thuyết chúng ta vừa được học.

Ví dụ 1:  Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m=0 có nghiệm.

Giải:

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt $log_3x=t$. Khi đó phương trình trở thành $t^2+t+m=0$ (*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình $log_2(5x-1)log_4(2.5x-2)=m$ có nghiệm thực x ≥ 1.

Giải:

Điều kiện: $5^x-1>0$ ⇔ $x>0$

$log_2(5^x-1)log_4(2.5^x-2)=m$

⇔ $log_2(5^x-1) 1/2 log_2(2(5^x-1))=m$

⇔ $log_2(5^x-1)(1+log_2(5^x-1))=2m$

⇔ $log^2_2(5^x-1)+log_2(5^x-1)=2m$

Đặt $log_2(5^x-1)=t$. Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^2+t-2m=0$ (*)

Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (*) có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3.

Ví dụ 3: Tìm tham số thực m để phương trình có nghiệm thực duy nhất.

Hướng dẫn:

⇔ $log(mx)=2log(x+1)$

⇔ $log(mx)=log(x+1)^2$

⇔ $mx=(x+1)^2 ⇔ x^2+(2-m)x+1=0$ (*)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn

TH1: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn $-1<x_1≤x_2$:

TH2: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn $x_1<-1<x_2: af(-1)<0$ ⇔ $m<0$.

Các giá trị m cần tìm

3. Bài tập áp dụng tìm m để phương trình logarit có nghiệm

Để luôn nắm chắc kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải các bài tập tìm m để phương trình logarit có nghiệm thành thạo hơn, VUIHOC gửi tặng các em file tài liệu bài tập tìm m để phương trình logarit có nghiệm, gồm các dạng bài tập chọn lọc và điển hình nhất. Các em đừng quên tải về để ôn tập hằng ngày nhé!

Tải xuống file bài tập tìm m để phương trình logarit có nghiệm (có đáp án chi tiết)

Trên đây, VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và hướng dẫn các em phương pháp điển hình để giải bài tập tìm m để phương trình logarit có nghiệm. Chúc các em ôn tập thật tốt nhé!