Toán 12 Nguyên Hàm: Lý Thuyết Và Cách Giải Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 11:05 01/12/2023 18,185 Tag Lớp 12

Trong bộ câu hỏi thi THPTQG, toán 12 nguyên hàm luôn chiếm tỉ lệ không hề nhỏ. Vì vậy, các sĩ tử 2k4 cần tập trung ôn luyện phần kiến thức này ngay từ bây giờ để trau dồi kỹ năng và thành thạo giải các bài toán liên quan. VUIHOC sẽ tổng hợp đầy đủ các lý thuyết chung về toán 12 bài nguyên hàm và hướng dẫn các em “thực chiến” các dạng toán thường xuất hiện trong đề thi nhé!

Toán 12 Nguyên Hàm: Lý Thuyết Và Cách Giải Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết toán 12 nguyên hàm

1.1. Nguyên hàm là gì

Trong chương trình toán 12 nguyên hàm, học sinh đã được học định nghĩa về nguyên hàm như sau:

Xét hàm số $y= f(x)$ có tập xác định là D. Nguyên hàm của hàm f(x) là F(x) khi đạo hàm của F(x) bằng f(x) với mọi x thuộc tập xác định D.

Lưu ý về họ nguyên hàm như sau:

F(x)+C (C là hằng số) là một nguyên hàm của f(x) xác định trên D khi F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) xác định trên D.
Tất cả nguyên hàm của f(x) xác định trên D đều có dạng tổng quát là F(x) + C (C là hằng số) khi F(x) là nguyên hàm của f(x) xác định trên D. Trong trường hợp đó, F(x)+C gọi là họ nguyên hàm của f(x) xác định trên D, ký hiệu là $\int f(x) dx = F(x) +C$

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Trong toán 12 nguyên hàm có 4 tính chất cần lưu ý, cụ thể như sau:

Tính chất 1: $\int f'(x) dx = f(x) +C$

Tính chất 2: $\int k.f(x)dx = k.\int f(x)dx$ (k là hằng số).

Tính chất 3: $\int \left [ f(x) +g(x) \right ] dx = \int f(x) dx = F(x)+C$ .

Tính chất 4: Với mọi hàm số f(x) liên tục trên D đều có nguyên hàm trên tập xác định đó.

1.3. Các bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Để tiện cho việc giải các bài tập toán 12 nguyên hàm, VUIHOC tổng hợp cho các em học sinh bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp sau đây:

Nguyên hàm cơ bản:

$\int 0dx = C$	$\int a^{x}dx = \frac{ax}{lna} +C (a> 0, a\neq 1)$
$\int dx= x+C$	$\int cosxdx = sinx+C$
$\int x^{a} dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} +C (a\neq -1)$	$\int sinxdx = -cosx+C$
$\int \frac{1}{x}dx = ln\left \| x \right \| +C$	$\int \frac{1}{cos^{2}x} dx = tanx+C$
$\int e^{x}dx = e^{x} + C$	$\int \frac{1}{sin^{2} x} dx = -cotx+ C$

Nguyên hàm tích phân:

$1. \int x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C$	$2. \int (ax+b)^{a}dx = \frac{1}{a} . \frac{(ax+b)^{a+1}}{a+1} +C$
$3. \int \frac{1}{x}dx=ln \left \| x \right \|+C$	$4. \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a}.ln \left \| ax +b \right \| +C$
$5. \int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{ln a}+ C$	$6. \int a^{ax+b}dx = \frac{a^{ax+b}}{lna}+ C$
$7. \int sinxdx = -cosx+C$	$8. \int sin(ax+b)dx= -\frac{1}{a}cos (ax+b)+C$
$9. \int cosxdx= sinx+C$	$10. \int cos(ax+b)dx = \frac{1}{a} sin (ax+b)+C$
$11. \int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tanx+C$	$12. \int \frac{1}{cos^{2} (ax+b)}dx= \frac{1}{a} tan(ax+b) +C$
$13. \int \frac{1}{sin^{2}x}dx= - cotx+C$	$14. \int \frac{1}{sin^{2} (ax+b)}dx= -\frac{1}{a}cot (ax+b)+C$

1.4. Phương pháp tính nguyên hàm

Để giải các bài tập toán 12 nguyên hàm, có hai cách tính nguyên hàm thường được sử dụng sau đây:

Phương pháp 1: Đổi biến số

Khi $\int f(u)du= F(u)+C$ đồng thời u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì khi đó:

$\int f(u(ux)) u' (x)dx = F (u(x)) +C$

Hệ quả của phương pháp đổi biến số: Với $u = ax+b (a\neq 0)$ thì $\int f (ax+b)dx=\frac{1}{a} F (ax+b)+C$

Phương pháp 2: Tính nguyên hàm từng phần

Khi hai hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục trên D thì khi đó:

$\int u(x)v' (x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$

Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được dùng để giải 2 dạng toán sau đây:

Dạng 1: $\int P(x).e^{ax+b}dx, \int P(x)sin(ax+b)dx, \int P(x)cos(ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u = P(x), dv = e^{ax+b}$ hoặc $dv= sin (ax+b)dx. dv= P(x)dx$

Dạng 2: $\int P(x)ln (ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u = ln(ax+b), dv = P(x)dx$

2. Hướng dẫn giải một số bài tập toán 12 bài nguyên hàm

Muốn thành thạo được lý thuyết, học sinh không nên bỏ qua bước luyện tập giải các bài tập toán 12 nguyên hàm. VUIHOC đã tổng hợp một số bài tập tiêu biểu trong phần kiến thức toán 12 bài nguyên hàm. Cùng tham khảo nhé!

Bài 1 (Toán 12 giải tích trang 93): Tìm F(x) sao cho F’(x)=f(x) khi:

a) $f(x)= 3x^{2} x \in (- \infty ; + \infty )$

b) $f(x)= \frac{1}{(cosx)^{2}} x \in \left ( \frac{-\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right )$

Giải:

$F(x)= x^{3}$ vì $(x^{3})' = 3x^{2}$

$F(x)=tanx$ vì $(tanx)' = \frac{1}{(cosx)^{2}}$

Bài 2: Cho $(xcosx)' = cosx -xsinx$ hay $-xsinx = (xcosx)' - cosx$ . Tính $\int (xcosx)'dx$ và $\int cosxdx$ , từ đó hãy tính $\int xsinxdx$

Giải:

Ta có: $\int (xcosx)' dx = (xcosx)$ và $\int cosxdx = sinx$ .

Từ đó

$\int xsinxdx= - \int \left [ (xcosx)' - cosx \right ]dx = - \int (xcosx)'dx + \int cosxdx = - xcosx +sinx + C$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ tổng hợp kiến thức bao gồm định nghĩa, các định lý và công thức nguyên hàm thường sử dụng. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ có thêm nguồn tài liệu tham khảo kiến thức xung quanh nguyên hàm hay các kiến thức khác thuộc chương trình Toán 12 để bổ sung vào kho kiến thức ôn thi Toán THPT Quốc gia của mình. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT QG, các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

>> Xem thêm: