Tổng hợp công thức tính khoảng cách

Tác giả Nhã Lân 10:31 30/09/2024 411,883

Tổng hợp đầy đủ các công thức tính khoảng cách trong hình học phẳng như: khoảng cách từ điểm tới điểm, điểm tới đường thẳng cũng như trong hình học không gian như: khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ mặt phẳng với đường thẳng hay giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Hãy cùng tham khảo!

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Khái niệm về công thức tính khoảng cách

Trong khoa học, công thức được hiểu là hình thức trình bày thông tin dưới dạng các biểu tượng. Công thức cần phải đảm bảo đáp ứng các yếu tố như tính chính xác hay có tính tổng quát cao.

Như vậy, ta có thể dễ dàng hiểu được công thức tính khoảng cách là tổng hợp các cách thức được sử dụng để tính khoảng cách từ vị trí này đến vị trí khác. Trong chương trình toán THPT, công thức tính khoảng cách được sử dụng để tính khoảng các giữa các điểm, giữ điểm với đường thẳng (đối với hình học phẳng) và giữa điểm với mặt phẳng, giữ đường thẳng với mặt phẳng hay giữ 2 đường thẳng chéo nhau (trong hình học không gian).

Các công thức tính khoảng cách thường dùng

Để có thể dễ dàng trong việc ghi nhớ cho các em học sinh, VUIHOC sẽ sắp xếp các công thức tính khoảng cách theo thứ tự từ đơn giản tới phức tạp (từ hình học phẳng tới hình học không gian) điều này sẽ giúp các em học sinh có thể dễ dàng trong việc ghi nhớ công thức và dễ dàng trong việc vận dụng trong quá trình làm bài tập.

1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ

Về bản chất khoảng cách giữa 2 điểm chính là việc ta tính độ dài của đoạn thẳng được tạo thành từ 2 điểm đó. Bên cạnh đó, các em học sinh cần lưu ý, khoảng cách ( hay độ dài nối liền) của 2 điểm bất kỳ không phải là độ dài đường thẳng (vì đơn giản đường thẳng không có giới hạn độ dài) và cũng không phải độ dài của bất kì đoạn thẳng vuông góc nào khác.

Từ đó, ta có công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm như sau:

Trong trục tọa độ Oxy, ta có điểm A (xA, yA) và điểm B (xB, yB). Khoảng cách của 2 điểm A và B được tính như sau:

$AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$

2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trục tọa độ Oxy ta có đường thẳng d: ax + by + c = 0 và có điểm M cho trước có tọa độ (x₀; y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính như sau:

$d(M, d) = \frac{|ax_{0} + by_{0} +c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Hướng dẫn chi tiết xem tại: Khoảng cách từ một điểm đên đường thẳng

3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Khoảng cách từ 1 điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khοảng cách được tính từ điểm A tới hình chiếu vuông góc của nó trên (P).

Ký hiệu: d(M,(P)).

Để tính được khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) các em học sinh có thể làm theo 2 cách sau

Cách 1: Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) rồi tính khoảng cách của 2 điểm
Cách 2: Các em có thể áp dụng công thức tính như sau(đây là phương pháp giải nhanh và đơn giản hơn):

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A có tọa độ là A(α;β;γ) và mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0. Công thức tính khoảng cách từ điểm A tới mặt (P) là:

$d(A, (P)) = \frac{|a\alpha + b\beta + c\gamma + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Chi tiết kiến thức các em có thể tham khảo bài viết: Khoảng cách từ một điểm tới 1 mặt phẳng

4. Công thức tính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau hoặc song song

Trong hình học không gian, các em học sinh đã được học về 4 mối quan hệ giữa 2 đường thẳng bao gồm: trùng nhau; Song song; Chéo nhau và cắt nhau. Qua đó, 2 trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau và trùng nhau đều có khoảng cách bằng 0

Như vậy 2 trường hợp song song và chéo nhau ta hoàn có thể tính khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách của 2 đường thẳng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Khoảng cách của 2 đường thẳng được tính như sau:

$d(\Delta_{1}; \Delta _{2}) = \frac{|\vec{M_{1}M_{2}\wedge \vec{u}|}}{|\vec{u}|}$

Trong đó:

M₁ và M₂ lần lượt là 2 điểm bất kì trên đường thẳng $\Delta$ ₁ và $\Delta$ ₂

_{Thông thường:}

M₁ (x₁; y₁; z₁) và M₂ (x₂; y₂; z₂)

Còn $\vec{u}$ là vecto chỉ phương bất kì của một trong 2 đường thẳng $\Delta$ ₁ và $\Delta$ ₂

_{Thông thường} $\vec{u}$ = (a; b; c)

Bài viết có thể tham khảo thêm: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

5. Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng

Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được sử dụng để tính khoảng cách của 2 mặt phẳng song song với nhau. Khi đã biết được phương trình của 2 mặt phẳng này, các em có thể tính khoảng cách của chúng bằng công thức sau:

(P): ax + by + cz + d = 0

(Q): ax + by + xz + d' = 0

d((P); (Q)) = $\frac{|d - d'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Để dễ dàng nắm được kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi toán THPT Quốc gia, tham khảo ngay bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC

Một số bài tập luyện tập về tính khoảng cách

Bài 1: Trong không gian tọa Oxyz, ta có hai mặt phẳng lần lượt có phương trình dạng:

(α): x – 2y + z + 1 = 0

(β): x – 2y + z + 3 = 0.

Hãy tính giữa 2 mặt phẳng (α) và (β) trên?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách của 2 mặt phẳng song song ta có:

$d((\alpha ), (\beta )) = \frac{|d - d'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ $= \frac{|1 - 3|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Vậy khoản cách của 2 mặt phẳng (α) và (β) là: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bài 2: Cho 2 mặt phẳng (α) // (β), và có khoản cách là 3. Ta có phương trình của 2 mặt phẳng trên lần lượt là:

(α): 2x – 5y – 3z + 1 = 0

(β): ax + by + cz + d2 = 0

Hãy xác định phương trình của mặt phẳng (β)

Hướng dẫn giải

Do (α) // (β)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = 2\\ b = -5 \\ c = -3 \end{matrix}\right.$

Bên cạnh đó, khoảng cách của 2 mặt phẳng này bằng 3

$\Rightarrow \frac{|1 - d_{2}|}{\sqrt{2^{2} + (-5)^{2} + (-3)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow d_{2} = 3\sqrt{38} - 1$

Vậy phương trình (β) có dạng: 2x – 5y – 3z + $3\sqrt{38} - 1$ = 0

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A và B lần lượt có tọa độ là A (3; 5) và B (2; 7). Hãy xác định khoảng cách của 2 điểm A, B.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách của 2 điểm ta có

d(A, B) = $\sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}}$

$\sqrt{(2 - 3)^{2} + (7 - 5)^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy khoảng cách của 2 điểm A và B là $\sqrt{5}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ công thức tính khoảng cách được VUIHOC tổng hợp. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em có thể nắm được các công thức và bản chất về các trường hợp tính khoảng cách trên không gian tọa độ từ đó dễ dàng áp dụng vào các dạng bài tập cũng như trong quá trình ôn thi THPT môn Toán. Để tham khảo thêm kiến thức của các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập trực tiếp vuihoc.vn. Chúc các em đạt được kết quả cao trong các kì thi sắp tới.

Tham khảo thêm:

⭐ Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Đá Vôi Là Gì? Công Thức Hóa Học Của Đá Vôi, Tính Chất, Ứng Dụng

Suất Điện Động Cảm Ứng – Lý Thuyết Và Trắc Nghiệm Vật Lý Lớp 11

Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác 11

Sóng dọc và sóng ngang - Vật lý 11