Chinh phục hoàn toàn bài toán vận dụng cao hàm số

Thầy cô VUIHOC đã đưa ra nhận định về độ khó và tổng kết chung nhất về dạng toán vận dụng cao hàm số ở bảng dưới đây, các em lưu ý!

1. Ôn tập lý thuyết chung về hàm số

1.1. Định nghĩa hàm số

Giả sử $X$ và $Y$ là hai tập hợp tuỳ ý. Nếu có một quy tắc $f$ cho tương ứng mỗi $x\in X$ với một và chỉ một $y\in Y$ thì ta nói rằng $f$ là một hàm từ $X$ vào $Y$, ký hiệu

$f:X\rightarrow Y$

    $x\rightarrow f(x)$

Nếu $X$, $Y$ là các tập hợp số thì $f$ được gọi là hàm số. Như các em đã học trong chương trình Đại số lớp 9, chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là $X\in \mathbb{R}$ và $Y\in \mathbb{R}$. X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số $f$. Tập xác định thường được ký hiệu là $D$.

Số thực $x\in X$ được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực $y=f(x)\in Y$ được gọi là giá trị của hàm số $f$ tại điểm $x$. Tập hợp tất cả các giá trị của $f(x)$ khi $x$ lấy mọi số thực thuộc tập hợp $X$ gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số $f$.

Ta cũng có thể định nghĩa hàm số như sau:

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho: Với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ 1 giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ và $x$ được gọi là biến số.

Các em lưu ý khi ôn tập vận dụng cao hàm số cần chú ý trường hợp đặc biệt: Khi $x$ thay đổi mà y luôn nhận được 1 giá trị thì y được gọi là hàm hằng. Ví dụ, $y=3$ là 1 hàm hằng.

Ký hiệu của hàm số: $y=f(x)$ hoặc $y=g(x)$,...

1.2. Tập xác định của hàm số

Khi ôn tập vận dụng cao hàm số, chúng ta cần để ý đến những phần nhỏ nhưng khá quan trọng này, là tập xác định. Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các giá trị của $x$ mà tại đó $f(x)$ xác định.

Ví dụ:

• Hàm số $y=2x$ xác định với mọi giá trị $x\in \mathbb{R}$ nên có tập xác định $D=\mathbb{R}$

• Hàm số  $y=x-1$ xác định với mọi giá trị của x1 nên có tập xác định là D={xR| x1}

Chú ý:

• Khi hàm số được cho bằng công thức $y=f(x)$ ta hiểu rằng biến số $x$ chỉ nhận những giá trị tại đó $f(x)$ xác định.

• Giá trị của $f(x)$ tại $x_0$, $x_1$,... được ký hiệu là $f(x_0)$, $f(x_1)$,...

1.3. Khảo sát hàm số

Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\mathbb{R}$, ta có:

• Nếu giá trị của biến $x$ tăng lên mà giá trị tương ứng $f(x)$ cũng tăng lên thì hàm $y=f(x)$ được gọi là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến $x$ tăng lên mà giá trị tương ứng $f(x)$ lại giảm đi thì hàm $y=f(x)$ được gọi là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Từ đó, ta có thể suy ra đồ thị hàm số $y=f(x)$ có chiều tương ứng như thế nào. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là tập hợp các điểm có toạ độ $(x;f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Ta có định lý sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$. Với $x_1$, $x_2$ bất kỳ thuộc $\mathbb{R}$:

• Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)<f(x_2)$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

• Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)>f(x_2)$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ về khảo sát hàm số:

Xét hàm số $y=f(x)=3x+1$

Tập xác định (TXĐ): $D=\mathbb{R}$

Với mọi $x_1$, $x_2$ thuộc D sao cho $x_1<x_2$

$3x_1<3x_2$ (nhân cả 2 vế với 3)

$3x_1+1<3x_2+1$ (cộng 2 vế với 1)

Suy ra $f(x1)<f(x2)$

Vậy hàm số $y=f(x)=3x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
 

2. Các dạng vận dụng cao hàm số có minh hoạ ví dụ

Khi gặp các bài tập vận dụng cao hàm số, các em có thể thấy rất nhiều dạng bài tập được đưa ra và nếu không nắm được cách xử lý của từng dạng, chúng ta rất dễ gặp khó khăn trong quá trình giải. Vì vậy, VUIHOC đã tổng hợp và hướng dẫn cho các em các dạng bài tập vận dụng cao hàm số thường gặp nhất kèm ví dụ minh hoạ.

Dạng 1: Bài toán vận dụng cao có liên quan đến tính đơn điệu

Ở dạng này, bài toán tổng quan sẽ có dạng:

Cho đồ thị hàm số $f’(x)$ hoặc bảng biến thiên hàm số $f’(x)$. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=f[u(x)]$

Phương pháp:

• Xác định $y’=u’(x).f’[u(x)]$. Cho $y’=0$ khi và chỉ khi $u’(x)=0$ hoặc $f’[u(x)]=0$

• Lập bảng xét dấu của $y’$

• Từ đó kết luận được về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f[u(x)]$ và có thể phát triển bài toán thành tìm số cực đại, cực tiểu của hàm số.

Dạng 2: Bài toán chứa tham số

Để giải bài toán vận dụng cao hàm số chứa tham số, các em cần nắm vững 2 vùng kiến thức sau:

Kiến thức 1: Biện luận nghiệm bất phương trình chứa tham số

$m\geq f(x)\forall x\in \left [ a;b \right ]\Leftrightarrow m\geq \max_{[a;b]}f(x)$

$m\leq f(x)\forall x\in \left [ a;b \right ]\Leftrightarrow m\geq \min_{[a;b]}f(x)$

$m\geq f(x)$ có nghiệm trên $[a;b]\Leftrightarrow m\geq \min_{[a;b]}f(x)$

$m\leq f(x)$ có nghiệm trên $[a;b]\Leftrightarrow m\leq \max_{[a;b]}f(x)$

Kiến thức 2: So sánh 2 nghiệm của tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ với số thực $a$

• $x_1<a<x_2\Leftrightarrow a.f(x)<0$
• $x_1<x_2<a\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \bigtriangleup >0\\ S<2a\\ a.f(a)>0\end{matrix}\right.$

• $a<x_1<x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \bigtriangleup >0\\ S>2a\\ a.f(a)>0\end{matrix}\right.$

Ta xét cụ thể ví dụ minh hoạ sau để hiểu rõ hơn về cách giải dạng toán này:

Dạng 3: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình

Cách 1: Dùng tính đơn điệu để giải phương trình giải bài toán vận dụng cao hàm số:

Phương pháp:

• Phương trình: $f(x)=c$ có nhiều nhất 1 nghiệm nếu $f(x)$ đơn điệu trên toàn bộ tập xác định

• Phương trình: $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất 1 nghiệm nếu 2 hàm số $f(x)$, $g(x)$ có tính đơn điệu trái ngược nhau

• Phương trình: $f[u(x)]=f[v(x)]$ khi và chỉ khi $u(x)=v(x)$ nếu $f$ đơn điệu trên miền xác định

Cách 2: Dùng tính đơn điệu để giải bất phương trình vận dụng cao hàm số

Phương pháp:

• Bất phương trình: $f(x)\geq f(x_0)$ khi và chỉ khi $x>x_0$ nếu $f(x)$ đồng biến trên toàn bộ tập xác định và $f(x)>c=f(x_0)$ khi và chỉ khi $x<x_0$ nếu $f(x)$ nghịch biến trên toàn bộ tập xác định.

• Bất phương trình: $f(x)>g(x)$ và số $x_0$ thoả mãn $f(x_0)=g(x_0)$:

  • Có nghiệm $x>x_0$ nếu $f(x)$ đồng biến và $g(x)$ nghịch biến

  • Có nghiệm $x<x_0$ nếu $f(x)$ nghịch biến và $g(x)$ đồng biến

• Bất phương trình: $f[u(x)]>f[v(x)]$ khi và chỉ khi $u(x)>v(x)$ nếu $f$ đồng biến trên miền xác định và $f[u(x)]>f[v(x)]$ khi và chỉ khi $u(x)<v(x)$ nếu $f$ nghịch biến trên miền xác định.

Xét ví dụ minh hoạ sau:

Dạng 4: Tìm GTLN - GTNN của hàm số theo công thức

Đây là dạng bài vận dụng cao hàm số rất dễ gặp ở các câu lấy điểm 9 điểm 10 trong các đề thi hoặc đề kiểm tra. Các em cùng xét ví dụ sau để hiểu hơn về cách giải dạng toán này.

Dạng 5: Xác định đường tiệm cận của hàm số có chứa tham số

3. Bài tập luyện tập vận dụng cao hàm số

Để thành thạo hơn và nhận diện dạng bài nhanh hơn, các em cần luyện tập thật nhiều các bài tập để quen mắt quen tay. VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu trong đó có đầy đủ các dạng bài toán vận dụng cao hàm số từ cơ bản đến nâng cao. Các em nhớ tải về để làm thử nhé!

Tải xuống file bài tập vận dụng cao hàm số có giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức chung về hàm số cũng như tổng hợp 5 dạng toán vận dụng cao hàm số các em cần lưu ý. Chúc các em học tốt và đạt điểm cao.