Thành thạo mọi bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit

Trước khi đi vào chi tiết bài học, các em hãy cùng tổng quan về hàm mũ và logarit, cũng như nắm được độ khó của các bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit trong đề thi THPT Quốc gia (dự kiến) tại bảng dưới đây nhé!

Để dễ dàng hơn trong ôn tập, VUIHOC tổng hợp toàn bộ lý thuyết về hàm số mũ và logarit nói chung và các công thức vận dụng cao hàm số mũ và logarit nói riêng tại file dưới đây. Các em nhớ tải về để ôn tập nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về vận dụng cao hàm số mũ và logarit

1. Ôn tập tổng quan về hàm số mũ và logarit - lý thuyết áp dụng vận dụng cao hàm số mũ và logarit

1.1. Tổng hợp lý thuyết hàm số mũ 

1.1.1 Định nghĩa của hàm số mũ

Theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, y=$10^x$,...

1.1.2. Đạo hàm và tính chất

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$ có tính chất sau:

1.1.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y=a^x$ ($a>0$; a ≠ 1).

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát đồ thị:

   + Đi qua điểm $(0;1)$

   + Nằm phía trên trục hoành.

   +Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Hình dạng đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như y=$10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

1.2. Tổng hợp lý thuyết hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa

Vì đều có “xuất thân” từ hàm số, cho nên hàm mũ và hàm logarit áp dụng trong bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit có những nét tương đồng nhau trong định nghĩa. Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

1.2.2. Đạo hàm và tính chất

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm hàm số logarit là:

1.2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit

Xét hàm số logarit $y=log_ax$ (a > 0; a ≠ 1,x > 0), ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).

• Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$.

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát hàm số:

   + Đi qua điểm (1; 0)

   + Nằm ở bên phải trục tung

   +Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Hình dạng đồ thị:

2. Các công thức vận dụng cao hàm số mũ và logarit

Công thức 1: Bất đẳng thức AM - GM

• Cho 2 số thực dương a,b khi đó $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

• Cho 3 số thực dương a, b, c khi đó $a+b+c\geq \sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Công thức 2: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho 2 bộ số ($x_1$, $x_2$,...,$x_n$) và ($y_1$, $y_2$,..., $y_n$) khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi  và chỉ khi các số lập thành các bộ số tỉ lệ.

Chú ý khi cho $n=2$, $n=3$ ta được 2 bất đẳng thức quen thuộc:

Công thức 3: Bất đẳng thức Minkowski

Tổng quát: Cho số thực r1 và mọi số dương $a_1$, $a_2$,...$a_n$, $b_1$, $b_2$,..., $b_n$ thì ta có:

Ở đây chỉ xét trường hợp cho 2 bộ số $(a_1, a_2,..., a_n)$ và $(b_1, b_2,... b_n)$. Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$

Công thức 4: Bất đẳng thức trị tuyệt đối

Cho 2 số thực a, b khi đó ta có: $\left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |$

Dấu “=” thứ nhất khi a, b cùng dấu; Dấu “=” thứ 2 khi a, b trái dấu.

Công thức 5: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$. Khi đó nếu:

• $\bigtriangleup =0$ thì phương trình có nghiệm, đồng nghĩa vế trái luôn không âm hoặc không dương.

• $\bigtriangleup >0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ứng dụng của công thức này sẽ áp dụng cho những bài tập tìm điều kiện có nghiệm để suy ra min, max. Ngoài ra các em phải chú ý tới một số phép biến đổi logarit mà ta đã được học.

Công thức 6: Tính chất hàm đơn điệu

• Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu và liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình $f(x)=a$ có tối đa 1 nghiệm.

• Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu và không liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình $f(x)=a$ có tối đa $n+1$ nghiệm.

3. Các dạng vận dụng cao hàm số mũ và logarit kèm ví dụ minh hoạ

3.1. Các dạng toán cực trị hàm số mũ và logarit

Dạng 1: Dùng kỹ thuật rút thế - đánh giá điều kiện đưa về hàm 1 biến số

Đây là một kỹ thuật cơ bản nhất để giải bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit. Hầu hết dạng này sẽ được giải quyết bằng cách thế một biểu thức từ giả thiết xuống yêu cầu từ đó sử dụng các công cụ như đạo hàm, bất đẳng thức để giải quyết bài toán vận dụng cao logarit.

Ta xét ví dụ về bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit sau:

Dạng 2: Hàm đặc trưng

Dạng toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit này, đề bài sẽ cho các em phương trình hàm đặc trưng từ đó ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa các biến và rút thế và giả thiết thứ 2 để giải quyết yêu cầu bài toán. Nhìn chung dạng toán này ta chỉ cần nắm chắc được kỹ năng biến đổi làm xuất hiện được hàm đặc trưng kết hợp với kiến thức về đạo hàm là sẽ được giải quyết.

Ta có tính chất sau của hàm số:

Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu 1 chiều trên miền D và tồn tại u, với mọi $u$ thuộc D thì khi đó phương trình $f(u)=f(v)$ khi và chỉ khi $u=v$.

Các em cùng đọc ví dụ sau đây để hiểu hơn cách làm dạng này:

Dạng 3: Sử dụng định lý Viet

Phương pháp chung của các bài toán ở dạng này hầu hết sẽ đưa giả thiết phương trình logarit về dạng một tam thức, sau đó sử dụng định lý viet và các phép biến đổi logarit để giải quyết.

Ví dụ minh hoạ bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit sử dụng định lý Viet:

Dạng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức

Đây là phương pháp đặc trưng nhất và là 1 dạng toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit được lấy ý tưởng từ đề thi THPT quốc gia năm 2018. Ta cùng xét ví dụ sau để hiểu cách làm bài toán này:

3.2. Các bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit liên quan đến tham số

Dạng 1: Ứng dụng tam thức bậc 2

Vận dụng những công thức trên, chúng ta cùng xem xét các ví dụ bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit áp dụng ứng dụng tam thức bậc 2 sau:

Dạng 2: Sử dụng ứng dụng của đạo hàm

Bài toán 1: Tìm m để phương trình $f(x;m)=0$ có nghiệm trên D?

• Bước 1: Độc lập m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f(x)=A(m)$

• Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng $y=A(m)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$

• Bước 4: Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình $f(x)=A(m)$ có nghiệm trên D.

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình $f(x;m)\geq 0$ hoặc $f(x;m)\leq 0$ có nghiệm trên D?

• Bước 1: Độc lập m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f(x)\geq A(m)$ hoặc $f(x)\leq A(m)$.

• Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số $m$ để bất phương trình có nghiệm.

  • Với bất phương trình $f(x)\geq A(m)$$ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm trên đường thẳng $y=A(m)$, tức là $A(m)\leq maxf(x)$

  • Với bất phương trình $f(x)\leq A(m)$ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm dưới đường thẳng $y=A(m)$, tức là $A(m)\geq minf(x)$

Khi giải các bài tập vận dụng cao sử dụng ứng dụng của đạo hàm, các em cần lưu ý:

• Các bài toán liên quan hệ phương trình, hệ bất phương trình thì ta cần biến đổi chuyển về các phương trình và bất phương trình.

• Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện của biến mới.

Chúng ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về các dạng bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit sử dụng ứng dụng đạo hàm:

3.3. Các bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit liên quan đến đồ thị

Đồ thị vận dụng cao hàm số mũ và logarit là dạng toán rất thịnh hành trong 3 năm thi đại học gần đây với những bài tập sáng tạo và biến tấu đa dạng. Mấu chốt của những bài toán này gần giống với bài toán tham số, các em sẽ phát hiện các điểm đặc biệt trên đồ thị, kết hợp các kiến thức mà ta đã học để giải quyết nó.

4. Bài tập áp dụng

Để luyện tập thành thạo các bài toán vận dụng cao hàm số mũ và logarit, các em lưu lại file tổng hợp các dạng bài tập vận dụng cao của thầy cô VUIHOC biên soạn dưới đây để làm thử nhé! 

Tải xuống file bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit kèm giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức cũng như tổng hợp tất cả các dạng bài tập vận dụng cao hàm số mũ và logarit thường gặp. Chúc các em đạt điểm cao!