Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Căn Thức: Phương Pháp Và Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 14:04 21/10/2024 85,385 Tag Lớp 12

Ở chương trình lớp 12, kiến thức về hàm số đơn điệu sẽ xuất hiện thêm dạng bài xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức, dạng này đòi hỏi học sinh cần nắm vững. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong bài thi THPT QG những năm gần đây. Cùng VUIHOC tìm hiểu thêm ở bài viết này nhé!

Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Căn Thức: Phương Pháp Và Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn và ví dụ minh họa

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số là gì

Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu:

$\forall X_{1},X_{2}\in K,X_{1}<X_{2}\Rightarrow f(X_{1})<f(X_{2})$

Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

$\forall X_{1},X_{2}\in K,X_{1}<X_{2}\Rightarrow f(X_{1})>f(X_{2})$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2 Lưu ý khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn cần phải tìm điều kiện xác định của hàm số dưới căn thức và áp dụng một lần nữa ở bước cuối.

Phương pháp dùng để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn gồm có các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định (xét sao cho phần trong căn lớn hơn 0).

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x) của căn thức.

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị làm hàm số không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ:

Bài tập 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số sau $y=\sqrt{x^{2}-2x}$ .

A. (-∞;0)

B. (0;2)

C. (0;+∞)

D. (2;+∞)

=> CHỌN D

Bài giải:

Ta có tập xác định của hàm số đã cho là $x^{2}-2x\geq 0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x\leq 0\\x\geq 2\end{matrix}$ . Tập xác định: D = (-∞;0]∪[2;+∞).

Lại có $y'=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x}}$, $\forall x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$

=> Hàm số không có đạo hàm tại: x = 0 và x = 2.

Ta có y'=0 $\Leftrightarrow$ $\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Có bảng biến thiên:

Bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức

Từ đó, ta thấy hàm số đồng biến trên (2;+∞).

Bài tập 2: Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y= \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-x+3}}$

A. $(1;+\infty )$

B. $(\frac{8}{5};+\infty )$

C. $(-\infty ;\frac{8}{5})$

D. $(-\infty ;2)$

=> CHỌN C

Bài giải:

Tập xác định của hàm số khi $x^{2}-x+3>0$ đúng $\forall x\in R$

Vậy tập xác định D = R

Ta có: $y'=\frac{\sqrt{x^{2}-x+3}-\frac{(2x-1)(x+2)}{2\sqrt{x^{2}-x+3}}}{x^{2}-x+3}=\frac{-5x+8}{2\sqrt{(x^{2}-x+3)}^{3}}$

$y'=0 \Leftrightarrow \frac{-5x+8}{2\sqrt{(x^{2}-x+3)}^{3}}=0\Leftrightarrow -5x+8=\frac{8}{5}$

Ta có bảng biến thiên:

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số ở căng thức

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Một số bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa căn (có đáp án)

Bài 1: Hàm số $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. (0;1).

B. (-∞;1).

C. (1;2).

D. (1;+∞).

=> CHỌN C

Bài giải:

Ta có tập xác định D = [0;2]

Lại có $y'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^{2}}};\forall x\in (0;2); y'=0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên:

Giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)

Bài 2: Cho hàm số $y= \sqrt{x^{2}-6x+5}$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;3).

=> CHỌN A

Ta có tập xác định D = (-;1][5;+)

Lại có $y'= \frac{x-3}{\sqrt{x^{2}-6x+5}}>0,\forall x\in (5;+\infty )$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(5;+\infty )$ .

Bài 3: Cho hàm số $y= \sqrt{x^{2}-1}$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số có đồng biến trên khoảng (0;+∞).

B. Hàm số đồng biến trên (-∞;+∞)

C. Hàm số có đồng biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

=> CHỌN C

Ta có tập xác định D = $(-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$

Có $y'= \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}};\forall x\in (-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$

Ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 4: Hỏi hàm số $y= \sqrt{x^{2}-4x+3}$ đồng biến trên khoảng nào?

A. (2;+∞)

B. (-∞;3)

C. (-∞;1)

D. (3;+∞)

=> CHỌN D

Ta có tập xác định $D = [-\infty ;1)\cup [3;+\infty )$

Lại có y'=x-2x2-4x+3;x(-;1)(1;+)

y'>0 x-2x2-4x+3>0x>2

Kết hợp tập xác định của hàm số, suy ra khoảng đồng biến của hàm số là (3;+∞)

Bài 5: Hàm số $y= \frac{2x-3}{x^{2}-1}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $(-\infty ;-1)$ và $(1;\frac{3}{2})$

B. $(\frac{3}{2};+\infty )$

C. $(1;\frac{3}{2})$

D. $(-\infty ;-1)$

=> CHỌN D

Tập xác định D = $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$

Ta có:

$y' = \frac{2\sqrt{x^{2} - 1} - (2x - 3).\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x^{2} - 1} = \frac{3x - 2}{\sqrt{(x^{2} - 1)^{3}}}; \forall x \in D$

$y' < 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2 < 0\\ [\begin{matrix}x < -1\\x > 2\end{matrix} \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên $(-\infty ; -1)$

Bài 6: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y= \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}$ ?

A. (1;2) và $(2;+\infty )$

B. $(2;+\infty )$

C. $(-\infty ;\frac{1}{2})$

D. $(\frac{1}{2};+\infty )$

=> CHỌN C

Ta có tập xác định $(-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$ \ 2

Ta có $y'=\frac{\frac{x(x-2)}{\sqrt{x^{2}-1}}}{(x-2)^{2}}=\frac{-2x+1}{\sqrt{x^{2}-1(x-2)^{2}}};\forall x\in (-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ \ 2

Có y'=0 $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Suy ra $y'<0 \Leftrightarrow \frac{-2x+1}{\sqrt{x^{2}-1(x-2)^{2}}}<0\Leftrightarrow -2x+1<0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;2) và (2;+∞)

Bài 7: Cho hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;9)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5;9)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;9)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;9)

=> CHỌN B

Tập xác định của hàm số: D = [1: 9]

Ta có:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2\sqrt{9 - x}}; \forall x \in (1; 9)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{9 - x} = \sqrt{x - 1} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1 < x < 9\\9 - x = x - 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = 5$

bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (5;9).

Bài 8: Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R?

A. y=tanx

B. $y= \frac{x}{x+1}$

C. $y= \frac{x}{\sqrt{x+1}}$

D. $y= x^{3}-2x^{2}-x+1$

=> CHỌN C

Ta có: Hàm số y = tan⁡x đồng biến trên mỗi khoảng $(\frac{-\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi )$ , k ∈ Z nên loại A.

Hàm số $y=\frac{x}{x+1};(x\neq -1)$ có $y'= \frac{1}{(x+1)^{2}}>0$ với ∀x ≠ -1 nên loại B.

Hàm số $y= \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ có TXĐ: D = R

Có $y'= \frac{\sqrt{x^{2}+1}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}=\frac{1}{(x^{2}+1)}\sqrt{x^{2}+1}>0 \forall x\in R$

Nên hàm số $y=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}$ đồng biến trên R.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Bài 9: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. $y= x^{4}-x^{3}+2x$

B. y=sinx

C. $y= \frac{x-1}{x+1}$

D. $y= x\sqrt{x^{2}+1}$

=> CHỌN D

Bỏ đáp án A: $y=x^{4}-x^{3}+2x$

Tập xác định: D = R, $y' = 4x^{3}-3x^{2}+2 = 0$ (*).

Phương trình (*) luôn có một nghiệm nên hàm số không đồng biến trên R.

Bỏ đáp án B: y = sin⁡x luôn đồng biến trên mỗi khoảng $(\frac{-\pi }{2}+k2\pi;\frac{\pi }{2}+k2\pi )$ , nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{\pi }{2}+k2\pi;\frac{3\pi }{2}+k2\pi )$ nên hàm số không đồng biến trên R.
Bỏ đáp án C: $y= \frac{x-1}{x+1}$ . TXĐ: D = R\{-1}. $y'= \frac{2}{(x+1)^{2}} > 0$ ∀ x ≠ -1 ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (-∞;-1) và (-1;+∞).
Chọn đáp án D: $y= x\sqrt{x^{2}+1}$ . TXĐ: D = R. $y'=\sqrt{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$ ∀x ∈ R

⇒ Suy ra: hàm số luôn đồng biến trên R.

Bài 10: Tìm khoảng tất cả các giá trị thực của m để phương trình $x+1=3m\sqrt{2x^{2}+1}$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}<m<\frac{\sqrt{6}}{6}$

B. $-\frac{\sqrt{2}}{6}<m<\frac{\sqrt{6}}{6}$

C. $m<\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m>\frac{\sqrt{6}}{2}$

=> CHỌN A

Ta có $x+1=3m\sqrt{2x^{2}+1}\Leftrightarrow \frac{x+1}{\sqrt{2x^{2}+1}}=3m$ (1)

Xét hàm số: $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{2x^{2}+1}}$ trên R

Ta có $f(x)' = \frac{2z^{2}+1-\frac{(x+1)2x}{\sqrt{2x^{2}+1}}}{2x^{2}+1}=\frac{1-2x}{\sqrt{(2x^{2}+1)^{3}}}$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2};\lim_{x\rightarrow +\infty }=\frac{1}{\sqrt{2}};\lim_{x\rightarrow -\infty }=\frac{1}{-\sqrt{2}}$

Ta có bảng biến thiên:

biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

Theo bảng biến thiên ta có phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

$\frac{1}{\sqrt{2}}<3m<\frac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{6}<m<\frac{\sqrt{6}}{6}$

Bài 11:

Đồ thị giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

A. $(-\infty ;-\sqrt{3}),(0;\sqrt{3})$

B. $(-\infty ;-\sqrt{3}),(\sqrt{3};+\infty )$

C. $(-\sqrt{3};0),(\sqrt{3};+\infty )$

D. $(-\infty ;-\sqrt{3}),(0;+\infty )$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả, phù hợp nhất với bản thân

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thường gặp. Để đạt được kết quả như mong muốn, các em hãy đầu tư thời gian luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết